邏輯斯蒂增長計算器
輸入當前族群大小、內稟增長率與環境承載量，即時算出下一時間步的族群數與淨增長量，理解族群的 S 型（logistic）增長。
輸入資料
計算結果
重點速覽：邏輯斯蒂族群增長（logistic growth）描述族群在資源有限環境下的增長模式：初期近似指數增長，隨族群接近環境承載量 K 而逐漸放緩，最終趨於飽和，形成 S 型（sigmoid）曲線。淨增長量為 dN = r·N·(K − N)/K，其中 r 是內稟（最大）增長率、K 是承載量、N 是當前族群大小。因子 (K − N)/K 代表尚未使用的環境空間比例：N 遠小於 K 時接近 1（近乎指數增長），N 接近 K 時趨於 0（增長停滯）。族群在 N = K/2 時淨增長最快。
計算公式
淨增長量：dN = r × N × (K − N) ÷ K。
下一步族群：N(t+1) = N + dN。
當前每體增長率：r × (K − N) ÷ K。
$$\Delta N = rN\left(\frac{K - N}{K}\right)$$$$N_{t+1} = N_t + rN_t\frac{K - N_t}{K}$$使用說明
- 填入當前族群大小 N、內稟增長率 r 與環境承載量 K。
- 系統即時算出這一時間步的淨增長量 dN、下一步族群 N(t+1) 與當前每體增長率。
- 嘗試把 N 設為 K/2，可觀察到淨增長量達到最大值。
不同族群大小的淨增長量（r = 0.5、K = 1000）
| 當前族群 N | 剩餘空間 (K−N)/K | 淨增長量 dN | 下一步 N(t+1) |
|---|---|---|---|
| 100 | 0.90 | 45 | 145 |
| 300 | 0.70 | 105 | 405 |
| 500 | 0.50 | 125 | 625 |
| 700 | 0.30 | 105 | 805 |
| 900 | 0.10 | 45 | 945 |
淨增長量在 N = K/2 = 500 時達到最大（125），族群過小或接近承載量時增長都較慢，形成對稱的 S 型增長曲線。
理財情境案例
族群早期快速增長
某族群當前 N = 100、r = 0.5、K = 1000。
dN = 0.5 × 100 × (1000 − 100) ÷ 1000 = 45，下一步 N = 145。
剩餘空間比例高達 0.90，族群接近指數式增長，每體增長率約 0.45，接近最大值 r。
族群接近承載量而放緩
同一族群增長到 N = 900。
dN = 0.5 × 900 × (1000 − 900) ÷ 1000 = 45，下一步 N = 945。
雖然個體數多，但剩餘空間僅 0.10，淨增長量與 N = 100 時相同並開始下滑，族群趨於飽和。
常見問題
邏輯斯蒂增長和指數增長有何不同？
指數增長假設資源無限，族群按固定比例持續加速增長（J 型曲線）；邏輯斯蒂增長加入環境承載量 K，當族群接近 K 時增長放緩並趨於平穩（S 型曲線）。現實中資源總是有限，因此多數自然族群更接近邏輯斯蒂模式。
承載量 K 代表什麼？
承載量 K 是特定環境在可持續條件下能長期維持的最大族群數，取決於食物、空間、水、天敵與疾病等資源與限制因素。族群超過 K 時死亡率上升或出生率下降，會被拉回 K 附近；K 並非固定，會隨環境改變而變動。
為什麼族群在 K/2 時增長最快？
淨增長量 dN = r·N·(K−N)/K 是 N 的二次函數，開口向下，最大值出現在 N = K/2。此時「個體數夠多能貢獻增長」與「剩餘資源空間仍充足」達到最佳平衡，因此淨增長量最大——這也是最大可持續產量（MSY）概念的基礎。
這個計算器算的是連續還是離散增長？
本計算器採離散一步（discrete）形式：由當前 N 算出一個時間步的淨增長量 dN 與下一步 N(t+1)。連續形式為微分方程 dN/dt = rN(K−N)/K，其解為 S 型曲線；離散逐步迭代在 r 不太大時會逼近同樣的趨勢。
內稟增長率 r 怎麼估？
r 是資源不受限時的每體最大增長率，可由出生率減死亡率估算，或由族群早期近指數增長階段的資料擬合得出。r 越大，族群趨近承載量的速度越快；r 過大時離散模型甚至會出現震盪或混沌行為。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。邏輯斯蒂增長依 dN = rN(K−N)/K 標準族群動態模型計算。