水躍共軛水深計算器

重點速覽：水躍（hydraulic jump）是明渠水流從『急流（超臨界，Fr>1）』急遽轉變為『緩流（亞臨界，Fr<1）』時，水面在短距離內突然抬升、劇烈翻滾、大量消耗能量的水力現象。它最常發生在溢洪道、陡槽、跌水或閘門下游——高速薄層急流衝入下游較深的緩流段時，無法平順銜接，便以翻滾的水躍形式『撞』出一段紊亂區，把多餘的動能轉化為紊流與熱耗散掉。正因為水躍能高效消能，工程上常刻意設計『消能池（stilling basin）』把水躍固定在池內，保護下游河床免遭高速水流沖刷。描述水躍最核心的關係是躍前、躍後兩個水深之間的『共軛水深（conjugate depths）』關係。對矩形渠（單位寬度分析），由動量守恆可導出著名的 Belanger 共軛水深公式：y₂ = (y₁ ÷ 2) × (√(1 + 8 × Fr₁²) − 1)。逐項解釋。y₁ 是躍前水深（急流側，水淺流急，m）。Fr₁ 是躍前弗勞德數 = v₁/√(g·y₁)，必須大於 1 才會發生水躍。y₂ 是躍後共軛水深（緩流側，水深流緩，m）。這個公式只用躍前的水深與弗勞德數，就能算出躍後應有的水深，是消能池設計的起點。物理意義：Fr₁ 愈大（上游愈急），根號項愈大，y₂/y₁ 的比值愈大，水躍愈劇烈、水面抬升愈高、消能效率也愈高。當 Fr₁=1（臨界）時，公式給出 y₂=y₁，即沒有水躍；Fr₁ 略大於 1 時是波狀水躍（消能弱）；Fr₁ 更大（約 4.5~9）進入穩定水躍，消能效率最佳。舉例，躍前水深 y₁=0.3 m、躍前弗勞德數 Fr₁=2.5：y₂ = (0.3 ÷ 2) × (√(1 + 8 × 2.5²) − 1) = 0.15 × (√51 − 1) = 0.15 × (7.1414 − 1) = 0.15 × 6.1414 ≈ 0.921 m。也就是說，水躍會把 0.3 m 的急流抬升到約 0.92 m 的緩流，水深增為約 3 倍。消能池的池深至少要能容納這個躍後水深，並留有餘裕。用途：其一，消能池與護坦設計——由 y₂ 決定池深、由 Fr₁ 查表決定池長；其二，判斷下游是否會形成水躍以及位置；其三，估算水躍消能量（躍前躍後比能差）。使用共軛水深公式與本工具要注意幾點：一是本公式僅適用『矩形渠、水平底、忽略摩擦』的理想水躍，梯形或有坡度渠道需修正；二是 Fr₁ 必須 >1 才有真正水躍，Fr₁≤1 時公式回傳 y₂≈y₁（無躍）；三是 y₂ 是『共軛水深』而非下游實際水深——要水躍穩定停在池內，下游尾水位須恰好等於或略大於 y₂；四是單位須一致（y 用 m）。總之，矩形渠水躍共軛水深由 Belanger 公式 y₂=(y₁/2)(√(1+8Fr₁²)−1) 決定，只憑躍前水深與弗勞德數即可求躍後水深，是溢洪道與跌水消能設計的核心。