臨界水深計算器

重點速覽：臨界水深（critical depth，符號 yc，單位 m）是明渠水力學中極其關鍵的一個特徵水深。對『給定的流量』而言，臨界水深是使斷面『比能最小』的水深，同時也是弗勞德數 Fr 恰好等於 1 的水深，因而是『急流（超臨界，Fr>1）』與『緩流（亞臨界，Fr<1）』兩種流態的分界線。理解臨界水深要從比能曲線說起：對固定流量，比能 E = y + v²/(2g) 隨水深 y 變化呈一條 U 形曲線——水深很大時流速慢、比能主要來自水深而偏大；水深很小時流速極快、速度水頭暴增、比能也大；中間存在唯一一個使比能最小的水深，這就是臨界水深 yc，此處恰好 Fr=1。當實際水深 y > yc，流速較慢、Fr<1，為緩流；當 y < yc，流速快、Fr>1，為急流。對最常見的『矩形明渠』，可由 Fr=1（或比能最小）的條件推導出簡潔的臨界水深公式：yc = (q² ÷ g)^(1/3)。其中 q 是『單寬流量』（unit discharge），即總流量 Q 除以渠底寬 b：q = Q/b（單位 m²/s），g 是重力加速度（9.81 m/s²）。公式含意是：臨界水深只由單寬流量決定（與渠道坡度、糙率無關），單寬流量愈大、臨界水深愈大（呈 2/3 次方關係）。舉例，某矩形渠單寬流量 q = 1 m²/s（例如渠寬 5 m、總流量 5 m³/s）：yc = (1² ÷ 9.81)^(1/3) = (0.10194)^(1/3) ≈ 0.4671 m。也就是這個流量下的臨界水深約 0.467 m——若實際水深大於它就是緩流、小於它就是急流。若單寬流量增到 q = 2 m²/s：yc = (4 ÷ 9.81)^(1/3) ≈ 0.7415 m，臨界水深隨流量增大。臨界水深另一個重要性質是對應的『最小比能』Emin = 1.5·yc（矩形渠），臨界流速 vc = √(g·yc)。用途：其一，判別流態基準——把實際水深與 yc 比較即知急流或緩流，決定水面線計算方向；其二，設計量水構造——帕歇爾槽、量水堰喉道刻意製造臨界流，建立穩定的水位—流量關係來測流；其三，分析跌水、陡坡進口與控制斷面（臨界水深常出現在坡度由緩變陡處）。使用臨界水深與本工具要注意幾點：一是本公式與 yc=(q²/g)^(1/3) 僅適用『矩形』渠道；梯形、三角形、圓形斷面的臨界水深要由 Fr=1 的一般條件（Q²T/gA³=1）迭代求解；二是輸入的是『單寬流量 q=Q/b』而非總流量 Q，須先除以渠寬；三是臨界水深與坡度無關，但『臨界坡度』（使正常水深等於臨界水深的坡度）另是一個概念；四是單位須一致（q 用 m²/s，yc 得 m）。總之，矩形渠臨界水深由 yc=(q²/g)^(1/3) 求得，是比能最小、Fr=1、急緩流分界的特徵水深，為明渠流態判別與量水設計的基礎。