標準差計算器（Standard Deviation）
輸入一組數值（最多 8 筆），計算平均值、變異數與標準差（總體／樣本），衡量資料離散程度。
輸入資料
計算結果
重點速覽：標準差是變異數的平方根，衡量資料相對平均值的離散程度。步驟：(1) 求平均 μ = Σxᵢ ÷ n；(2) 求離均差平方和 Σ(xᵢ − μ)²；(3) 總體變異數 = 平方和 ÷ n，樣本變異數 = 平方和 ÷ (n−1)；(4) 標準差 = √變異數。樣本模式用 n−1（貝塞爾校正）以無偏估計總體變異數。
計算公式
平均 = Σ 數值 ÷ 筆數。
平方和 = Σ(數值 − 平均)²。
總體變異數 = 平方和 ÷ n；樣本變異數 = 平方和 ÷ (n−1)。
標準差 = √變異數。
經驗法則：常態下約 68% 落於 ±1σ、95% 落於 ±2σ。
$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$$$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}$$使用說明
- 選擇總體或樣本模式。
- 輸入數值（最多 8 筆，至少 2 筆）。
- 系統算出平均、變異數與標準差。
- 說明欄顯示模式與經驗法則範圍。
樣本 vs 總體
| 項目 | 樣本 (sample) | 總體 (population) |
|---|---|---|
| 分母 | n−1 | n |
| 符號 | s | σ |
| 用途 | 推估整體 | 完整資料 |
一般統計推論用樣本（÷n−1）；擁有全部資料時用總體（÷n）。
情境案例
80, 85, 90, 95
平均 = 87.5。
平方和 = 56.25 + 6.25 + 6.25 + 56.25 = 125。
樣本變異數 = 125 ÷ 3 ≈ 41.67；樣本標準差 ≈ 6.45。
10, 20, 30（總體 vs 樣本）
平均 = 20；平方和 = 100 + 0 + 100 = 200。
樣本：變異數 = 200 ÷ 2 = 100，標準差 = 10。
總體：變異數 = 200 ÷ 3 ≈ 66.67，標準差 ≈ 8.16（較小）。
成績波動
兩班平均皆 70，但 A 班 σ=5、B 班 σ=15。
B 班成績更分散，需更多補救教學。
常態經驗法則
身高 μ=170, σ=6：約 95% 介於 158–182（μ±2σ）。
σ 越小表示資料越集中。
財務波動
兩檔股票報酬相同，A 波動 σ=2%、B σ=8%。
B 風險較高；標準差常用作風險指標。
樣本校正意義
小樣本用 n 會低估變異；n−1 修正使估計無偏。
樣本數大時兩者差異很小。
常見問題
「總體」和「樣本」標準差差在哪？
總體標準差用於你擁有完整資料（除以 n）；樣本標準差用於只抽到部分資料、要推估整體（除以 n−1，貝塞爾校正，結果略大以反映不確定性）。一般統計推論用樣本。
標準差為 0 是什麼意思？
代表所有數值完全相同，毫無離散。標準差越大，資料越分散、波動越大。
標準差和變異數有什麼關係？
變異數是離均差平方的平均，標準差是其平方根。標準差與原數值同單位，更直觀，因此比變異數更常用。
標準差能告訴我「正常範圍」嗎？
在常態分佈下，約 68% 資料落於「平均 ±1σ」、95% 落於 ±2σ。這是品管（六標準差）與風控基礎。
多少筆數據才夠？
至少 2 筆才能算離散；樣本數越多，標準差估計越穩定。本工具支援最多 8 筆，更多數據請用試算表或統計軟體。
標準差和「平均絕對差」哪個好？
標準差對極端值更敏感（因平方）；平均絕對差較耐離群值。兩者皆衡量分散程度，視需求選用。
為什麼樣本要除以 n−1？
用樣本平均取代真實平均會使離均差平方和偏小；除以 n−1 可修正此偏差，得到對總體變異數的無偏估計。
標準差單位為何？
標準差與原始數值同單位（如 cm、分），變異數則為單位平方。這也是實務偏好標準差的原因。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。標準差與變異數公式驗證。