維德曼-法蘭茲定律計算器
輸入電導率與溫度，計算金屬熱導率 κ=L·σ·T。銅 σ=5.96e7、T=300K → κ≈436 W/(m·K)。
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計算結果
重點速覽：維德曼-法蘭茲定律（Wiedemann-Franz law，1853）：金屬熱導率 κ 與電導率 σ 之比正比於絕對溫度 T，κ/σ=L·T，即 κ=L·σ·T。L=2.44×10⁻⁸ W·Ω/K² 為勞侖茲數（索末菲 1928 年由自由電子氣理論推導 L=(π²/3)·(k_B/e)²）。物理意義：金屬中電子同時攜帶電流與熱流，故兩者傳導能力成正比。經典例：銅 σ=5.96e7 S/m、T=300K → κ=2.44e-8×5.96e7×300≈436 W/(m·K)（實測 401，偏差 ~9%）。歷史：維德曼與法蘭茲 1853 年實驗發現 κ/σ 與 T 成正比；勞侖茲 1872 年確定常數；索末菲 1928 年用量子自由電子理論推導 L 理論值。應用：(1) 金屬熱管理——散熱片、熱導材料選擇；(2) 電子散熱——CPU 散熱片、熱管設計；(3) 低溫物理——超導轉變研究（偏離 WF 定律為超導證據）；(4) 材料科學——測 κ 反推 σ 或反之；(5) 太空工程——衛星熱控金屬選擇。
計算公式
熱導率：κ = L · σ · T（W/(m·K)）
勞侖茲數：L = (π²/3)·(k_B/e)² ≈ 2.44×10⁻⁸ W·Ω/K²
比值：κ / σ = L · T
電子比熱：c_e = (π²/2)·n·k_B·(k_B·T/E_F)
熱擴散率：α = κ/(ρ·c)
$$\kappa = L \sigma T, \quad L = \frac{\pi^2}{3}\left(\frac{k_B}{e}\right)^2 \approx 2.44 \times 10^{-8}\,\mathrm{W\Omega/K^2}$$使用說明
- 輸入電導率 σ（S/m）、溫度 T（K）。
- 系統計算 κ=L·σ·T（L=2.44e-8）。
- 常用：銅 σ=5.96e7、T=300 → κ=436；銀 σ=6.3e7 → κ=461；鋁 σ=3.5e7 → κ=256。
常見金屬室溫熱導率與電導率（T=300K）
| 金屬 | 電導率 σ (S/m) | 計算 κ (W/(m·K)) | 實測 κ (W/(m·K)) | 偏差 (%) |
|---|---|---|---|---|
| 銀 | 6.30e7 | 461 | 429 | 7.5 |
| 銅 | 5.96e7 | 436 | 401 | 8.7 |
| 金 | 4.10e7 | 300 | 317 | -5.4 |
| 鋁 | 3.50e7 | 256 | 237 | 8.0 |
| 鎢 | 1.79e7 | 131 | 173 | -24.3 |
| 鐵 | 1.00e7 | 73 | 80 | -8.8 |
純金屬室溫偏差 <10%；過渡金屬（W、Fe）有 d 電子貢獻誤差較大。低溫（<10K）下純金屬符合度極佳。
理財情境案例
CPU 散熱片材料選擇
銅 σ=5.96e7 S/m、T=350K（工作溫度）。
κ=2.44e-8×5.96e7×350=508 W/(m·K)，高於室溫 436，散熱更佳。
鋁 σ=3.5e7 → κ=298 W/(m·K)。銅散熱效率為鋁的 1.7 倍，但密度 3.3 倍，故高端 CPU 用銅、輕薄裝置用鋁。
超導轉變驗證
鉛 T_c=7.2K；7.2K 以上正常態 σ=5e6 S/m → κ=L·σ·T=2.44e-8×5e6×7.2=0.88 W/(m·K)。
低於 T_c 進入超導態，電子凝聚成庫珀對，僅聲子貢獻熱導，κ 急劇下降（遠小於 0.88）。
測 κ-T 曲線在 T_c 處跳變，為驗證超導轉變的標準方法。
常見問題
為什麼金屬導電和導熱都好？
金屬中自由電子同時攜帶電荷和熱能。電場下電子定向移動（電流）；溫度梯度下高能電子從熱端擴散到冷端（熱流）。兩者由同一群電子貢獻，故 κ 與 σ 成正比——這正是維德曼-法蘭茲定律的物理本質。
勞侖茲數 L 的理論值如何推導？
索末菲 1928 年用量子自由電子氣推導：L=(π²/3)·(k_B/e)²。其中 k_B=1.38e-23 J/K、e=1.6e-19 C，代入得 L=2.44e-8 W·Ω/K²。推導要點：(1) 電導率由費米面附近電子貢獻；(2) 電子比熱 c_e=(π²/2)·n·k_B²·T/E_F；(3) 熱導與電導散射時間相同。
為什麼過渡金屬（鎢、鐵）偏差較大？
過渡金屬 d 帶電子參與熱傳導但部分不參與電導（局部化 d 電子），且聲子熱導佔比相對較高。室溫下聲子熱導可達總熱導的 10-30%，偏離純電子 WF 定律。低溫下聲子凍結，所有金屬符合度極佳。
為什麼超導態會偏離 WF 定律？
超導態下部分電子凝聚成庫珀對（無電阻、不攜帶熵），僅正常態電子參與熱導。T→0 時電子完全凝聚，熱導僅由聲子貢獻，κ/σT→0，嚴重偏離 WF 定律。這是驗證超導轉變的標準方法。
如何從 κ 反推 σ 或反之？
金屬材料測量 σ 簡單（四探針法）、測 κ 較難（雷射閃光法）。若已知 T 與 σ，由 κ=LσT 估算 κ；若已知 κ 與 T，由 σ=κ/(LT) 估算 σ。常用於高溫或薄膜樣品的快速熱導/電導評估，誤差<10%對工程應用足夠。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。κ=LσT，L=2.44e-8 W·Ω/K²；銅 σ=5.96e7、T=300K → κ=436 W/(m·K)。實測 401，偏差 9%。純金屬室溫符合度 <10%。