德魯德模型計算器
輸入載子密度與弛豫時間，計算金屬電導率 σ=ne²τ/m 與遷移率 μ=eτ/m。銅 n=8.5e28、τ=2.5e-14 → σ≈5.99e7 S/m。
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計算結果
重點速覽：德魯德模型（Drude model，1900）：將金屬中電子視為經典自由電子氣（理想氣體），在電場下加速、與離子碰撞散射，弛豫時間 τ 後重新熱平衡。電導率 σ=n·e²·τ/m，其中 n 為載子密度、e=1.602176634×10⁻¹⁹ C、τ 為平均碰撞間時間、m 為電子質量（或有效質量 m*）。遷移率 μ=e·τ/m，故 σ=n·e·μ。經典例：銅 n=8.5e28 m⁻³、τ=2.5e-14 s → σ=8.5e28×(1.6e-19)²×2.5e-14/9.11e-31≈5.99e7 S/m（實測 5.96e7，符合度極佳）。歷史：德魯德 1900 年提出，成功解釋維德曼-法蘭茲定律（κ=LσT）；但預測電子比熱過大（與實驗差 100 倍）——此問題由索末菲 1928 年用量子費米-狄拉克統計解決（自由電子氣只有費米面附近電子參與熱容）。應用：(1) 金屬電導率理論；(2) 半導體遷移率計算；(3) 霍爾效應載子密度測量；(4) 薄膜與奈米線電導；(5) 強場效應（微分遷移率）。
計算公式
電導率：σ = n·e²·τ/m（S/m）
遷移率：μ = e·τ/m（m²/(V·s)）
電導率：σ = n·e·μ
平均自由徑：λ = v_F·τ，v_F 為費米速度
歐姆定律微觀：J = n·e·v_d = σ·E
$$\sigma = \frac{n e^2 \tau}{m}, \quad \mu = \frac{e\tau}{m}, \quad \sigma = ne\mu$$使用說明
- 輸入載子密度 n（m⁻³）、弛豫時間 τ（s）、有效質量 m*（kg）。
- 系統計算 σ=ne²τ/m、μ=eτ/m、λ=v_F·τ（v_F≈1e6 m/s）。
- 常用：銅 n=8.5e28、τ=2.5e-14 → σ=5.99e7 S/m、μ=44 cm²/(V·s)、λ=25nm。
室溫金屬電導率與遷移率（T=300K）
| 金屬 | 載子密度 n (m⁻³) | 弛豫時間 τ (s) | 電導率 σ (S/m) | 遷移率 μ (cm²/(V·s)) |
|---|---|---|---|---|
| 銀 | 5.86e28 | 3.8e-14 | 6.30e7 | 67 |
| 銅 | 8.50e28 | 2.5e-14 | 5.99e7 | 44 |
| 金 | 5.91e28 | 3.0e-14 | 4.10e7 | 53 |
| 鋁 | 18.1e28 | 8.0e-15 | 3.55e7 | 14 |
| 鎢 | 1.20e29 | 1.5e-14 | 1.79e7 | 26 |
| 鐵 | 1.70e29 | 2.2e-15 | 1.00e7 | 4 |
金屬中電子 v_F≈1e6 m/s，τ~1e-14 s，故平均自由徑 λ~10-50nm（遠大於晶格間距 0.3nm）。
理財情境案例
銅導線電導率計算
銅 n=8.5e28 m⁻³（每原子一個價電子）；室溫 τ=2.5e-14 s。
σ=8.5e28×(1.6e-19)²×2.5e-14/9.11e-31=5.99e7 S/m（實測 5.96e7，偏差 0.5%）。
遷移率 μ=1.6e-19×2.5e-14/9.11e-31=4.4e-3 m²/(V·s)=44 cm²/(V·s)；平均自由徑 λ=1e6×2.5e-14=25nm，遠大於晶格 0.3nm。
半導體 GaAs 電子遷移率
GaAs n=1e23 m⁻³（摻雜）、τ=2e-13 s、m*=0.067m_e=6.1e-32 kg。
μ=1.6e-19×2e-13/6.1e-32=5.2e-1 m²/(V·s)=5200 cm²/(V·s)（實測 8500 高純度）。
GaAs 遷移率為 Si（μ=1500）的 5 倍，用於高速電晶體（HEMT、毫米波）。InSb m*=0.014m_e μ 達 80000，適用紅外偵測器。
常見問題
德魯德模型為何預測電子比熱過大？
德魯德假設所有電子服從玻爾茲曼統計、都參與熱容，預測 c_e=3nk_B/2，與實驗差 100 倍。索末菲用量子費米-狄拉克統計修正：只有費米面附近 kT 範圍內的電子可被激發，c_e=(π²/2)·n·k_B·(k_B·T/E_F)，比德魯德預測小 T/E_F~T/T_F≈0.01 倍，符合實驗。
弛豫時間 τ 如何測量？
(1) 電導率反推：τ=σ·m/(n·e²)，需先測 σ 與 n；(2) 霍爾效應測 n；(3) SdH 量子振盪週期反推費米面；(4) 角分辨光電子譜（ARPES）直接測電子壽命；(5) 反常膚效應高頻電導。金屬 τ~1e-14 s 對應平均自由徑 10-50nm。
為什麼半導體用「有效質量」而非電子質量？
半導體中電子在週期晶格位能中運動，受晶格週期場影響等效為「有效質量」m*。Si 電子 m*=0.26m_e、GaAs 0.067m_e、InSb 0.014m_e。m* 小則遷移率 μ=eτ/m* 大，故 GaAs（μ=8500）遷移率遠高於 Si（μ=1500）。
為什麼低溫下金屬電導率大幅提升？
室溫下電子主要被聲子散射，τ∝T⁻⁵。低溫 T→0 時聲子凍結，τ 急劇增大，σ 可提升 10⁴-10⁶ 倍。但殘留雜質散射限制極限電導（殘留電阻率）。超純銅 4K 下 σ 可達 10¹² S/m。進入超導態 σ→∞。
德魯德模型與能帶理論有何差別？
德魯德視電子為自由粒子（無週期場）；能帶理論考慮晶格週期場，電子服從布洛赫定理，能量形成能帶。金屬導帶與價帶重疊、半導體有禁帶 Eg。能帶理論可解釋導體/半導體/絕緣體差異，德魯德只適用於金屬導帶內電子。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。σ=ne²τ/m；銅 n=8.5e28、τ=2.5e-14 → σ=5.99e7 S/m（實測 5.96e7）。遷移率 μ=eτ/m=44 cm²/(V·s)。平均自由徑 λ=v_F·τ=25nm。