機械波能量計算器
輸入介質密度、角頻率、振幅、波速與體積，計算波能量密度 E=½·ρ·ω²·A²、強度 I=E·v 與總能量。ρ=1.2、ω=1、A=1、v=340 → E=0.6 J/m³、I=204 W/m²。
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計算結果
重點速覽：機械波能量密度（Mechanical wave energy density）：行進波在彈性介質中傳播時，介質質點的動能與勢能密度之和為 E=½·ρ·ω²·A²，其中 ρ 為介質密度（kg/m³）、ω 為角頻率（rad/s，ω=2πf）、A 為振幅（m）。波強度（能流密度、Intensity）I=E·v=½·ρ·ω²·A²·v，單位 W/m²，表示單位時間垂直通過單位面積的能量，其中 v 為波速。體積 V 內的總能量 E_total=E·V。歷史：瑞利 1877 年《聲學理論》系統推導波能量公式；能流密度的向量形式即坡印廷向量（電磁波）或聲強向量（聲波）。經典例：ρ=1.2 kg/m³（空氣）、ω=1 rad/s、A=1 m、v=340 m/s → E=0.6 J/m³、I=204 W/m²；人類聽覺閾 1e-12 W/m²（A≈1e-11 m）、痛閾 1 W/m²（A≈0.01 m）。應用：(1) 聲學——分貝、噪聲控制；(2) 地震學——地震波能量；(3) 超聲波——醫學成像、清洗；(4) 水波——海浪發電；(5) 樂器——弦管能量。
計算公式
能量密度：E = ½·ρ·ω²·A²
波強度：I = E·v = ½·ρ·ω²·A²·v
總能量：E_total = E·V
角頻率：ω = 2π·f
波速：v = λ·f = ω/k
$$E = \tfrac{1}{2} \rho \omega^2 A^2, \quad I = Ev = \tfrac{1}{2} \rho \omega^2 A^2 v, \quad E_{\text{total}} = EV$$使用說明
- 輸入介質密度 ρ（kg/m³）、角頻率 ω（rad/s）、振幅 A（m）、波速 v（m/s）與體積 V（m³）。
- 系統計算 E=½ρ ω²A²、I=E·v、E_total=E·V。
- 常用：ρ=1.2、ω=1、A=1、v=340 → E=0.6 J/m³、I=204 W/m²；人耳聽閾 I=1e-12 W/m²。
常見聲波強度與振幅（空氣 ρ=1.2、v=340）
| 聲源 | I (W/m²) | A (m) | 分貝 dB |
|---|---|---|---|
| 聽閾 | 1e-12 | 1.1e-11 | 0 |
| 耳語 | 1e-10 | 1.1e-10 | 20 |
| 交談 | 1e-6 | 1.1e-8 | 60 |
| 街道 | 1e-5 | 3.5e-8 | 70 |
| 搖滾樂 | 1e-1 | 3.5e-6 | 110 |
| 痛閾 | 1 | 1.1e-5 | 120 |
I=½ρ ω²A²·v，聽閾 1e-12 W/m² 對應 A≈1e-11 m（原子直徑量級）。分貝 L=10·log₁₀(I/I₀)，I₀=1e-12 W/m²。每 10 dB 強度比 10 倍。
理財情境案例
超聲波醫學成像能量
醫用超聲 3.5 MHz（ω=2.2e7 rad/s）、振幅 A=1e-7 m、組織 ρ=1060 kg/m³、聲速 v=1540 m/s。
能量密度 E=½×1060×(2.2e7)²×(1e-7)²=0.0256 J/m³；強度 I=E·v=0.0256×1540=39.4 W/m²（約 0.04 W/cm²，安全閾 0.72 W/cm²以下）。
聚焦超聲 HIFU 1000 W/cm² 可瞬間加熱至 60°C 殺死腫瘤組織，能量密度為診斷超聲 1e4 倍。
地震波能量與黎克特制
地震 P 波在岩石（ρ=3000、v=6000）中傳播，M7 地震振幅約 0.1 m、ω=2π×0.5=3.14 rad/s。
能量密度 E=½×3000×3.14²×0.1²=14.8 J/m³；強度 I=E·v=14.8×6000=8.9e4 W/m²。
地震總能量 M7≈4e15 J（廣島原子彈 6e13 J 的 67 倍）。黎克特制每增 1 級能量增 31.6 倍。M9 地震能量為 M7 的 1000 倍。
常見問題
為什麼能量密度與振幅平方成正比？
簡諧振動動能 E_k=½mv²，v_max=Aω，故動能∝A²。勢能 ½kA² 同樣∝A²（k=mω²）。總能量=動能+勢能，故 E=½mω²A²，密度形式 E=½ρ ω²A²。振幅加倍能量 4 倍；振幅 10 倍能量 100 倍。
波強度 I 與功率 P 的關係？
波強度 I 是單位面積的功率（W/m²），故 P=I·S（S 為垂直面積）。點聲源均勻球狀輻射時，距 r 處 I=P/(4πr²)，故聲強隨距離平方反比衰減。若距離加倍，強度變 1/4、分貝減 6 dB。
為什麼人耳聽閾對應原子直徑量級振幅？
聽閾 I₀=1e-12 W/m²，由 I=½ρ ω²A²v 反推（取 f=1 kHz、ω=6283、ρ=1.2、v=340）A=√(2I/(ρ ω²v))=√(2e-12/(1.2×3.95e7×340))≈1.1e-11 m，與氫原子直徑 1e-10 m 同量級。人耳鼓膜偵測如此微小振幅，故為生物學奇蹟之一。
電磁波與機械波能量公式有何異同？
電磁波能量密度 u=ε₀E²（電場與磁場各半），機械波 E=½ρ ω²A²。形式相似（均∝振幅平方）但物理量不同：電磁波用電場 E（V/m）、機械波用位移 A（m）。電磁波可在真空中傳播（不需介質）；機械波需介質（聲波、水波、地震波）。
為什麼超聲波比可聞聲能量大？
波能量 E∝ω²，頻率加倍能量 4 倍。超聲 1 MHz（ω=6.28e6）比可聞 1 kHz（ω=6283）頻率高 1000 倍，相同振幅下能量大 1e6 倍。聚焦超聲 HIFU 利用此特性集中能量殺死腫瘤；診斷超聲控制低振幅避免組織損傷。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。機械波能量密度 E=½ρ ω²A²、強度 I=E·v=½ρ ω²A²v、總能量 E·V。空氣 ρ=1.2、v=340、A=1、ω=1 → E=0.6 J/m³、I=204 W/m²。聽閾 1e-12 W/m²、痛閾 1 W/m²。