扭擺計算器
輸入轉動慣量與扭轉常數，計算扭擺週期 T=2π√(I/κ)。I=1、κ=1 → T=2π≈6.283s。
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計算結果
重點速覽：扭擺（Torsion pendulum）：剛體懸掛於彈性細線下方，受線材扭轉恢復力矩 τ=-κθ 作用做角簡諧運動，週期 T=2π√(I/κ)，其中 I 為剛體繞懸掛軸的轉動慣量、κ 為細線的扭轉常數（單位 N·m/rad）。與物理擺不同，扭擺的振盪與重力無關，僅依賴彈性恢復力矩，故可用於真空、太空等無重力環境。角頻率 ω=√(κ/I)。歷史：庫侖 1777 年發明扭力天平測量微小力；卡文迪許 1798 年用扭擺測量萬有引力常數 G；惠更斯 1675 年發明游絲擺輪使手錶精確計時。經典例：I=1 kg·m²、κ=1 N·m/rad → T=2π≈6.283s；手錶游絲 I=1e-7、κ=1e-5 → T=0.628s（1.59Hz）。應用：(1) 手錶游絲擺輪——計時核心；(2) 扭力天平——測量微小力（庫侖力、萬有引力）；(3) 轉動慣量測量——由 T 反推 I；(4) 卡文迪許實驗——測量 G；(5) 真空天平——無重力環境測量。
計算公式
扭擺週期：T = 2π·√(I/κ)
角頻率：ω = 2π/T = √(κ/I)
頻率：f = 1/T = (1/2π)·√(κ/I)
恢復力矩：τ = -κ·θ（虎克定律）
扭轉常數：κ = π·G·r⁴/(2L)（圓截面細線）
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{\kappa}}, \quad \omega = \sqrt{\frac{\kappa}{I}}$$使用說明
- 輸入轉動慣量 I（kg·m²）、扭轉常數 κ（N·m/rad）。
- 系統計算 T=2π√(I/κ)（s）、頻率 f、角頻率 ω。
- 常用：I=1、κ=1 → T=2π≈6.283s；I=0.01、κ=0.1 → T≈1.987s。
常見扭擺週期範例
| 應用 | I (kg·m²) | κ (N·m/rad) | T (s) | f (Hz) |
|---|---|---|---|---|
| 手錶游絲 | 1e-7 | 1e-5 | 0.628 | 1.59 |
| 卡文迪許實驗 | 1e-4 | 1e-8 | 628 | 0.00159 |
| 扭力天平 | 1e-5 | 1e-6 | 19.87 | 0.0503 |
| 實驗室扭擺 | 0.01 | 0.1 | 1.987 | 0.503 |
| 真空天平 | 0.001 | 1e-4 | 19.87 | 0.0503 |
| 重力計 | 0.1 | 1e-6 | 3141 | 0.000318 |
T=2π√(I/κ)。手錶游絲 T≈0.6s（1.59Hz）與人眼分辨率匹配。卡文迪許扭擺 T≈600s 使微小力積累可觀測。κ=πGr⁴/(2L) 取決於線材和尺寸。
理財情境案例
卡文迪許測量萬有引力常數
1798 年卡文迪許用扭擺測量 G=6.674e-11 N·m²/kg²。兩鉛球（m=158kg）吸引扭擺小球（m=729g），力 F=GmM/r²≈1.7e-7N。
扭擺轉動慣量 I=7.3e-5 kg·m²、κ≈1e-8 N·m/rad → T=2π√(I/κ)≈17分鐘，微小力積累產生可觀測偏轉。
卡文迪許精度 1%，現代扭擺測量 G 精度 0.01%（2018年 CODATA 推薦值 G=6.67430e-11，不確定度 0.0022%）。
手錶游絲擺輪計時
機械手錶擺輪轉動慣量 I≈1e-7 kg·m²，游絲扭轉常數 κ≈1e-5 N·m/rad → T=2π√(1e-7/1e-5)=0.628s（1.59Hz）。
擺輪每週期擒縱機構釋放一次能量，1.59Hz × 2半週期 = 28800次/小時（vph）。高頻機芯 36000vph（5Hz）更抗振。
游絲材質影響精度：鐵鎳合金（Nivarox）溫度係數 <1ppm/°C，誤差 <2秒/天。石英錶 32768Hz 晶體精度遠超機械錶。
常見問題
扭擺和物理擺有何區別？
物理擺的恢復力來自重力（mgd），週期依賴 g；扭擺的恢復力來自彈性（κ），週期與 g 無關。故扭擺可用於太空無重力環境。物理擺 T=2π√(I/(mgd))，扭擺 T=2π√(I/κ)。兩者數學形式相同（簡諧運動），但物理本質不同。
如何測量扭轉常數 κ？
(1) 已知轉動慣量物體測週期 T → κ=4π²I/T²；(2) 施加已知扭矩 τ 測偏轉角 θ → κ=τ/θ；(3) 理論計算 κ=πGr⁴/(2L)（圓截面線，G 為剪切模量）。石英絲 G=3.1e10 Pa，鋼絲 G=7.9e10 Pa。κ 與線半徑 r 的四次方成正比。
卡文迪許實驗為何用扭擺？
萬有引力極微弱（兩 1kg 球相距 10cm 力 F=6.67e-10N），直接測量幾乎不可能。扭擺的優勢：(1) 彈性恢復力極小（κ≈1e-8），微小力即可產生可觀偏轉；(2) 週期長（T≈600s）使力積累；(3) 光槓桿放大偏轉至可測量。現代扭擺測量 G 精度達 0.002%。
手錶為什麼用扭擺而非單擺？
(1) 扭擺與方向無關（手錶可任意佩戴），單擺需固定方向；(2) 扭擺尺寸小（擺輪直徑 <10mm），單擺需較長擺線；(3) 扭擺頻率可調（改變游絲 κ），配合擒縱機構實現穩定計時；(4) 擺輪振盪能量來自發條，不需重力驅動。1675 年惠更斯發明游絲擺輪使懷錶精度提升至 <5分鐘/天。
扭擺的阻尼來源？
(1) 空氣阻力——主要阻尼，真空可消除；(2) 線材內摩擦——材料非理想彈性，難以消除；(3) 支點摩擦——懸掛方式影響。阻尼使振幅指數衰減 A(t)=A₀e^(-γt)。手錶游絲需低阻尼維持振盪（擒縱機構補充能量）；卡文迪許扭擺需高阻尼使偏轉穩定（添加空氣阻尼葉片或電磁阻尼）。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。扭擺週期 T=2π√(I/κ)，角頻率 ω=√(κ/I)。I=1、κ=1 → T=2π≈6.283s。手錶游絲 T≈0.6s。卡文迪許扭擺 T≈600s 測量 G=6.674e-11。扭擺與重力無關，可用於太空。κ=πGr⁴/(2L)。