物理擺計算器
輸入轉動慣量、質量、重力與支點距離，計算物理擺週期 T=2π√(I/(mgd))。I=1、m=1、g=9.81、d=1 → T≈2.006s。
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計算結果
重點速覽：物理擺（Physical pendulum / Compound pendulum）：任意形狀剛體繞不通過質心的固定水平軸在重力作用下擺動，週期 T=2π√(I/(mgd))，其中 I 為剛體繞固定軸的轉動慣量、m 為質量、g 為重力加速度、d 為支點到質心的距離。等效單擺長度 L_eq=I/(md)，當剛體退化為質點時 I=md²，T=2π√(d/g) 即單擺公式。歷史：惠更斯 1673 年研究物理擺並製作精確鐘擺；凱特 1817 年發明可逆擺測量重力。經典例：I=1 kg·m²、m=1 kg、g=9.81、d=1m → T=2π√(1/9.81)=2.006s；均勻桿長 L 繞端點 → I=mL²/3、d=L/2 → T=2π√(2L/(3g))。應用：(1) 鐘擺——精計時；(2) 地震計——測量地面運動；(3) 重力測量——凱特可逆擺測 g；(4) 建築阻尼器—— tuned mass damper；(5) 轉動慣量測量——由週期反推 I。
計算公式
物理擺週期：T = 2π·√(I/(m·g·d))
等效單擺長度：L_eq = I/(m·d)
角頻率：ω = 2π/T = √(mgd/I)
頻率：f = 1/T
退化為單擺：I = m·d² → T = 2π·√(d/g)
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}, \quad L_{\text{eq}} = \frac{I}{md}$$使用說明
- 輸入轉動慣量 I（kg·m²）、質量 m（kg）、重力 g（m/s²）、支點到質心距離 d（m）。
- 系統計算 T=2π√(I/(mgd))（s）、頻率 f、角頻率 ω。
- 常用：I=1、m=1、g=9.81、d=1 → T≈2.006s；均勻桿 L=1m → T≈1.640s。
常見物理擺週期範例
| 物體 | I (kg·m²) | m (kg) | d (m) | T (s) |
|---|---|---|---|---|
| 單擺近似 | 1.0 | 1.0 | 1.0 | 2.006 |
| 均勻桿 L=1m | 0.333 | 1.0 | 0.5 | 1.640 |
| 圓盤 R=0.5m | 0.125 | 1.0 | 0.5 | 1.003 |
| 圓球 R=0.5m | 0.1 | 1.0 | 0.5 | 0.898 |
| 鐘擺 | 0.5 | 2.0 | 0.25 | 2.006 |
| 建築阻尼器 | 10000 | 50000 | 2.0 | 2.006 |
T=2π√(I/(mgd))。均勻桿 I=mL²/3，圓盤 I=mR²/2，球 I=2mR²/5。等效長度 L_eq=I/(md) 時物理擺與單擺週期相同。
理財情境案例
凱特可逆擺測量重力
凱特擺有兩個可調支點，調整至兩支點週期相同時，g=4π²L/T²（L 為兩支點距離），精度可達 10⁻⁵。
1884 年國際大地測量會議採用凱特擺為標準重力測量方法，使用至 1930 年代被重力儀取代。
現代重力測量精度 10⁻⁸（超導重力儀），但凱特擺原理仍用於教學演示 g 值測量。
台北101大樓調諧質量阻尼器
台北101大樓安裝 660 噸鋼球作為 tuned mass damper，擺動週期 6.8s 與大樓固有週期一致。
由 T=2π√(L/g) → L=gT²/(4π²)=9.81×6.8²/(4π²)≈11.5m，鋼球懸掛於 11.5m 長鋼索上。
颱風時大樓擺動帶動鋼球反向擺動，抵振幅 30-40%。鋼球質量大使位移小（F=ma），阻尼器吸收振動能量。
常見問題
物理擺和單擺有何區別？
單擺是質點繞固定點擺動，週期 T=2π√(L/g) 僅依賴擺長。物理擺是任意剛體繞固定軸擺動，週期 T=2π√(I/(mgd)) 依賴轉動慣量 I、質量 m 和支點到質心距離 d。等效單擺長度 L_eq=I/(md) 時兩者週期相同。單擺是物理擺的特例（I=md²）。
如何用物理擺測量轉動慣量？
由 T=2π√(I/(mgd)) 反推 I=mgd·(T/(2π))²。測量物體質量 m、支點到質心 d、擺動週期 T，即可計算轉動慣量 I。此方法適用於不規則形狀物體（飛機零件、衛星），精度 1-5%。需注意空氣阻尼和支點摩擦影響。
什麼是等效單擺長度？
L_eq=I/(md)，是使單擺週期等於物理擺週期所需的單擺長度。均勻桿長 L 繞端點：I=mL²/3、d=L/2 → L_eq=2L/3；圓盤半徑 R 繞邊緣：I=3mR²/2、d=R → L_eq=3R/2。等效長度可大於物體尺寸（如圓環 L_eq=2R）。
為什麼鐘擺用物理擺而非單擺？
物理擺（剛體）比單擺（質點+繩）更穩定：(1) 剛體不易變形，擺長恆定；(2) 可精密調節質量分佈補償溫度膨脹（柵狀擺、水銀補償）；(3) 可附加空氣阻尼葉片穩定運動。惠更斯 1656 年發明擺年發明擺鐘，誤差 <10秒/天，取代了之前的機械械鐘（誤差 15分鐘/天）。
大角度擺動時週期如何變化？
小角度（θ<15°）時 T=2π√(I/(mgd)) 精確。大角度需修正：T=T₀(1+θ²/16+11θ⁴/3072+...)。θ=30° 時修正 +1.7%；θ=60° 時 +7.3%；θ=90° 時 +18%。精密鐘擺需限制 θ<3° 以保持誤差 <0.05%。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。物理擺週期 T=2π√(I/(mgd))，等效單擺長度 L_eq=I/(md)。I=1、m=1、g=9.81、d=1 → T≈2.006s。均勻桿 L=1m 繞端點 → T≈1.640s。凱特可逆擺測 g。台北101 TMD 660噸 週期6.8s。