簡諧運動計算器
輸入質量 m、彈簧常數 k 與振幅 A，計算角頻率 ω=√(k/m)、週期 T=2π√(m/k)、頻率、最大速度 Aω、最大加速度 Aω² 與總能量 ½kA²。
輸入資料
計算結果
重點速覽：簡諧運動（simple harmonic motion, SHM）：物體所受合力為回復力——與位移成正比、方向恆指向平衡位置（F = −kx），其中 k 是回復力常數（如彈簧的勁度係數，N/m）、x 是偏離平衡的位移。解運動方程得位移隨時間作正弦（或餘弦）變化：x(t)=A·cos(ωt+φ)，其中 A 是振幅、ω 是角頻率。對於質量 m 的物體掛在勁度係數 k 的彈簧上，角頻率 ω=√(k/m)、週期 T=2π/ω=2π√(m/k)、頻率 f=1/T。關鍵特徵：週期與振幅無關（等時性），只取決於 k 與 m——這是鐘擺、彈簧振盪電路、LC 振盪、原子振動的共同特徵。運動中的速度 v(t)=−A·ω·sin(ωt+φ)，最大值 v_max=A·ω（在平衡位置）；加速度 a(t)=−A·ω²·cos(ωt+φ)，最大值 a_max=A·ω²（在端點）。能量關係：動能 K=½mv²、勢能 U=½kx²，總能量 E=K+U=½kA² 守恆——在平衡位置全部是動能（½mv_max²=½kA²），在端點全部是勢能（½kA²）。以預設為例：m=1 kg、k=16 N/m、A=0.5 m，ω=√(16/1)=4 rad/s，T=2π/4=π/2≈1.571 s，f≈0.637 Hz，v_max=0.5×4=2 m/s，a_max=0.5×16=8 m/s²，E=½×16×0.25=2 J。簡諧運動是物理學中最基礎的振動模式，廣泛出現在力學（彈簧、單擺小角度）、電學（LC 振盪）、光學（電磁場）、量子力學（諧振子）中。
計算公式
角頻率：ω = √(k / m)
週期：T = 2π·√(m / k)
頻率：f = 1 / T = (1/2π)·√(k / m)
最大速度：v_max = A·ω
最大加速度：a_max = A·ω²
總能量：E = ½·k·A²
$$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}, \quad T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$$$$v_{max} = A\omega, \quad a_{max} = A\omega^2, \quad E = \dfrac{1}{2}kA^2$$使用說明
- 輸入質量 m（kg）、彈簧常數 k（N/m）、振幅 A（m）。
- 系統計算角頻率 ω、週期 T、頻率 f、最大速度與最大加速度、總能量 E。
- k=0 時視為自由粒子（ω=0，不振盪）。
m=1 kg、A=0.5 m 時彈簧常數對週期的影響
| k (N/m) | ω (rad/s) | T (s) | E (J) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.000 | 6.283 | 0.125 |
| 4 | 2.000 | 3.142 | 0.500 |
| 9 | 3.000 | 2.094 | 1.125 |
| 16 | 4.000 | 1.571 | 2.000 |
| 100 | 10.000 | 0.628 | 12.500 |
| 本例：k=16 | 4.000 | 1.571 | 2.000 |
週期 T 與 √k 成反比；剛度越大振動越快、能量隨 A² 增長。
理財情境案例
彈簧振子的基本振動
m=1 kg、k=16 N/m、A=0.5 m。
角頻率 ω=√(16/1)=4 rad/s，週期 T=π/2≈1.571 s。
最大速度 v_max=0.5×4=2 m/s（在平衡點），總能量 E=½×16×0.25=2 J。
汽車懸吊的振動設計
車體質量 m=1000 kg，懸吊等效 k=40000 N/m。
週期 T=2π√(1000/40000)≈0.993 s，頻率約 1 Hz——這正是舒適乘坐的設計目標。
若 k 過大（硬懸吊），週期短、顛簸明顯；k 過小（軟懸吊）則搖晃、易暈車。
常見問題
簡諧運動的週期與振幅有關嗎？
無關。由 T=2π√(m/k) 可見週期只取決於質量 m 與彈簧常數 k，與振幅 A 無關。這稱為『等時性』，是簡諧運動的重要特徵——無論振幅大小，同一振盪系統的週期相同。這也是機械鐘擺能準確計時的基礎。
什麼情況下不是簡諧運動？
當回復力不與位移成正比（非線性）時就不是簡諧運動。例如單擺大角度（回復力 ∝ sinθ ≠ θ）、非線性彈簧（F≠kx）。此時週期會依賴振幅，需要修正公式（如單擺大角度修正）。
總能量 E=½kA² 在哪個位置達到？
E=½kA² 是整個振動過程守恆的總能量（動能+勢能）。在端點（x=±A）全部是勢能（U_max=½kA²、K=0）；在平衡位置（x=0）全部是動能（K_max=½mv_max²=½kA²、U=0）。能量在兩者間週期性轉換。
最大速度為什麼是 A·ω？
位移 x=A·cos(ωt)，對時間求導得速度 v(t)=−A·ω·sin(ωt)，最大值就是 A·ω（當 sin=±1 時，即平衡位置）。最大加速度 a_max=A·ω²（當 cos=±1 時，即端點）。
k=0 會怎樣？
k=0 表示沒有回復力（自由粒子），ω=0、T=∞、不振盪。本工具會回傳 ω=0、T=0、E=0。這對應物體不受力、依慣性勻速運動的情況，已不屬於『振動』範疇。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。ω=√(k/m)；週期與振幅無關（等時性）；能量 ½kA² 守恆。