圓錐擺計算器
輸入擺長 L、擺角 θ、質量 m 與重力 g，計算圓錐擺週期 T=2π√(Lcosθ/g)、頻率、角頻率、張力/重量比、圓錐半徑與繩張力。
輸入資料
計算結果
重點速覽：圓錐擺（conical pendulum）：擺球被繩拉住，在水準面做等速圓周運動，繩掃出一個圓錐面。設繩長為 L、繩與鉛垂線夾角為 θ、質量為 m、重力為 g。擺球受重力 mg（向下）與繩張力 F_T（沿繩指向懸點），兩者合力指向圓心、提供向心力。垂直方向平衡：F_T·cosθ = mg → 張力 F_T = mg/cosθ，張力/重量 = 1/cosθ。向心力由張力的水準分量提供：F_c = F_T·sinθ = mg·tanθ。由 F_c = m·v²/r 及圓錐半徑 r = L·sinθ，可推得 v = √(g·L·sinθ·tanθ)，角頻率 ω = v/r = √(g/(L·cosθ))，週期 T = 2π/ω = 2π·√(L·cosθ/g)。關鍵特徵：週期與質量 m 無關；θ 越大，cosθ 越小，週期越短（與小角度單擺 T₀=2π√(L/g) 相比，θ=0 時 T=T₀，θ→90° 時 T→0）；同時張力 F_T=mg/cosθ 隨 θ 增大而增大（θ→90° 時張力→∞，這就是為何現實中錐擺不能擺到接近水準）。以預設為例：L=1 m、θ=30°、m=1 kg、g=9.81 m/s²，cos30°≈0.866，T = 2π·√(1×0.866/9.81) ≈ 1.867 s，比小角度單擺 T₀=2π√(1/9.81)≈2.006 s 短約 7%。圓錐半徑 r = L·sin30° = 0.5 m，張力 F_T = 1×9.81/cos30° ≈ 11.33 N（大於重量 9.81 N）。
計算公式
週期：T = 2π·√(L·cosθ / g)
角頻率：ω = √(g / (L·cosθ))
圓錐半徑：r = L·sinθ
張力：F_T = m·g / cosθ
張力/重量比 = 1 / cosθ
$$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L\cos\theta}{g}}$$$$\omega = \sqrt{\dfrac{g}{L\cos\theta}}$$$$F_T = \dfrac{mg}{\cos\theta}$$使用說明
- 輸入擺長 L（m）、半錐角 θ（度）、質量 m（kg）、重力 g（m/s²）。
- 系統計算週期 T、頻率 f、角頻率 ω、張力/重量比、圓錐半徑 r 與繩張力 F_T。
- θ≥90° 自動夾至 89.99°（避免 cosθ=0 導致張力無限大）。
L=1 m、m=1 kg、g=9.81 時半錐角對週期與張力的影響
| 半錐角 θ (°) | 週期 T (s) | 張力/重量 | 繩張力 F_T (N) |
|---|---|---|---|
| 0 | 2.0061 | 1.0000 | 9.81 |
| 15 | 1.9894 | 1.0353 | 10.16 |
| 30 | 1.8668 | 1.1547 | 11.33 |
| 45 | 1.6858 | 1.4142 | 13.87 |
| 60 | 1.4172 | 2.0000 | 19.62 |
| 本例：θ=30 | 1.8668 | 1.1547 | 11.33 |
θ 越大週期越短但張力越大；θ→90° 時週期→0、張力→∞（現實不可達）。
理財情境案例
旋轉小球的錐擺
L=1 m、θ=30°、m=1 kg、g=9.81 m/s²。
週期 T = 2π√(1×cos30°/9.81) ≈ 1.867 s，比小角度單擺 T₀≈2.006 s 短 7%。
繩張力 F_T = 1×9.81/cos30° ≈ 11.33 N，約為重量的 1.15 倍。
轉速對應的錐擺角度
旋轉轉速越高，θ 越大（繩越接近水準）。
若 θ=60°，L=1 m，則 T = 2π√(1×0.5/9.81) ≈ 1.417 s，張力達 2 倍重量。
這就是离心机/旋轉椅轉越快時物體越向外飛、繩越接近水平的原理。
常見問題
圓錐擺的週期與質量有關嗎？
無關。由 T=2π√(L·cosθ/g) 可見週期只取決於擺長 L、半錐角 θ 與重力 g，與質量 m 無關。這與單擺小角度週期 T₀=2π√(L/g) 不依賴質量是同樣的道理——質量在向心力方程兩邊消去。
為什麼錐擺週期比單擺短？
錐擺週期 T=2π√(L·cosθ/g)，比小角度單擺 T₀=2π√(L/g) 多一個 cosθ 因子。θ>0 時 cosθ<1，因此 T<T₀。θ 越大，cosθ 越小，週期越短。θ=0 時兩者相等。
半錐角接近 90° 會怎樣？
θ→90° 時 cosθ→0，週期 T→0（轉速趨於無限快），但繩張力 F_T=mg/cosθ→∞。這在物理上不可實現——繩會先斷裂。因此本工具將 θ≥90° 自動夾至 89.99° 以避免除零。
向心力由什麼提供？
向心力是繩張力的水準分量：F_c = F_T·sinθ = mg·tanθ。垂直方向 F_T·cosθ = mg（平衡重力）。合力指向圓心，維持小球在水準面做圓周運動。
圓錐半徑 r 怎麼算？
圓錐半徑 r = L·sinθ，即小球到鉛垂軸的水準距離。θ 越大，圓周半徑越大；θ=0 時半徑為 0（小球靜止於軸下方）。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。T=2π√(Lcosθ/g) 與質量無關；θ→90° 張力發散。