單擺週期計算器
輸入擺長與重力加速度，求週期、頻率與角頻率。L=1m, g=9.8 → T≈2.01s。
輸入資料
計算結果
重點速覽：單擺是質量集中於擺錘的輕桿懸掛系統。小角度（θ<15°）近似下做簡諧振盪，週期 T=2π√(L/g)，與質量、振幅無關（等時性）。推導：回復力 F=-mg·sinθ≈-mg·θ（小角度近似）、運動方程 θ''+(g/L)θ=0、角頻率 ω=√(g/L)、週期 T=2π/ω。物理意義：單擺週期只取決於擺長和重力、故可測重力、做時鐘。伽利略發現等時性、惠更斯造擺鐘。應用：(1) 掛鐘（擺長調週期）；(2) 重力測量（g 變化反映地質）；(3) 地震儀（擺記錄震動）；(4) 傅科擺（證地球自轉）；(5) 物理實驗（測 g）。
計算公式
週期：T = 2π·√(L/g) = 2π/ω
角頻率：ω = √(g/L)
頻率：f = 1/T = ω/(2π)
回復力：F = -mg·sinθ ≈ -mg·θ（小角度）
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}, \quad \omega = \sqrt{\frac{g}{L}}, \quad f = \frac{1}{T}$$使用說明
- 輸入擺長 L（m）。
- 輸入重力加速度 g（m/s²）。
- 系統計算週期 T、頻率 f 與角頻率 ω。
單擺週期示例
| L (m) | g (m/s²) | T (s) | f (Hz) | 情境 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 9.8 | 2.01 | 0.498 | 實驗室 |
| 0.248 | 9.8 | 1.0 | 1.0 | 秒擺 |
| 0.25 | 9.8 | 1.0 | 1.0 | 近似秒擺 |
| 1 | 1.62 | 4.94 | 0.202 | 月球 |
| 2 | 9.8 | 2.84 | 0.352 | 長擺 |
T 只取決於 L 和 g、與質量振幅無關（小角度）。月球 g 小、T 大。
理財情境案例
擺鐘與秒擺
秒擺：T=1s 需 L≈0.248m（g=9.8）。每半秒滴答一次。惠更斯 1656 年造擺鐘、誤差每天 <10 秒。
掛鐘：擺長 0.994m（g=9.80665）→ T=2s、半週期 1s 滴答。 grandfather clock。
溫度補償：金屬擺桿熱脹冷縮影響 L、用水銀擺或鋼-鋅雙金屬補償。
重力測量與傅科擺
測 g：測 T 和 L → g=4π²L/T²。物理實驗測重力加速度、誤差 <0.5%。
地質探勘：g 因緯度、海拔、地下密度變化。擺測 g 可探礦、測地殼密度。
傅科擺：L=67m（巴黎先賢祠）、T≈16.4s。擺面相對地面旋轉、證地球自轉（週 31.8h 轉一圈）。
常見問題
為什麼單擺週期與質量無關？
回復力 F=mg·sinθ 與質量成正比、而慣性（F=ma）也與質量成正比。m 在分子分母抵消、故加速度 a=-g·θ/L 與 m 無關。類似自由落體：g 與質量無關。但需小角度近似。
小角度近似有何限制？
θ<15° 時 sinθ≈θ 誤差 <1%、週期近似良好。大角度需完整橢圓積分：T=4·√(L/g)·K(sin(θ/2))，θ=30° 誤差 1.7%、θ=60° 誤差 7.3%、θ=90° 誤差 18%。大角度週期變長。
為什麼秒擺擺長是 0.248m？
秒擺 T=1s：L=g·T²/(4π²)=9.8·1/(4π²)=9.8/39.48≈0.248m。巴黎緯度 g≈9.809 → L≈0.2494m。惠更斯以此設計擺鐘。不同緯度 g 略異、擺長需微調。
擺鐘為什麼受溫度影響？
金屬擺桿熱脹冷縮：L 變長 → T 變大 → 鐘變慢。10°C 升溫鋼桿脹 0.012%、鐘日慢 5 秒。補償：水銀擺（水銀膨脹上升縮短有效 L）、鋼-鋅雙金屬（鋅脹更大反向補償）。
傅科擺如何證明地球自轉？
傅科擺擺面在慣性系不變、但地球自轉使擺面相對地面旋轉。緯度 φ 處角速 =Ω·sinφ。巴黎 φ=48.8°、轉一圈約 31.8 小時。擺越長越明顯。直觀證明地球自轉。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。單擺 T=2π√(L/g)。簡諧振盪。擺鐘、重力測量應用。