彈簧振子週期計算器
輸入質量與彈簧常數，計算振盪週期與頻率。m=1, k=1 → T=2π≈6.28s。
輸入資料
計算結果
重點速覽：彈簧振子為簡諧運動（Simple Harmonic Motion, SHM）的典型系統。質量 m 掛在彈簧常數 k 的彈簧上，回復力 F=-kx（虎克定律），運動方程 m·ẍ=-kx，解為 x(t)=A·cos(ωt+φ)，角頻率 ω=√(k/m)，週期 T=2π/ω=2π√(m/k)，頻率 f=1/T=ω/(2π)。物理意義：(1) 週期僅取決於質量與彈簧常數，與振幅無關（等時性，Galileo 發現）；(2) k 越大（硬彈簧）週期越短（振盪越快）；(3) m 越大週期越長（慣性大慢）；(4) 能量在動能與彈性勢能間交換：E=½kA²=½mv²_max；(5) 振幅 A 決定能量但不影響週期。歷史：Hooke 1676 發現彈性定律；Galileo 觀察鐘擺等時性。應用：(1) 機械鐘彈簧擺輪；(2) 汽車避震器（彈簧+阻尼）；(3) 建築抗震調諧質量阻尼器；(4) 彈簧秤測力；(5) 音叉、壓電振盪器。
計算公式
角頻率：ω = √(k / m)
週期：T = 2π / ω = 2π · √(m / k)
頻率：f = 1 / T = ω / (2π)
回復力：F = -k · x
總能量：E = ½ · k · A²
$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \quad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}, \quad f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$使用說明
- 輸入質量 m（kg，1）。
- 輸入彈簧常數 k（N/m，1）。
- 系統計算週期、頻率與角頻率。
m=1kg 各 k 週期
| k (N/m) | ω (rad/s) | T (s) | f (Hz) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6.283 | 0.159 |
| 10 | 3.162 | 1.987 | 0.503 |
| 100 | 10 | 0.628 | 1.592 |
| 1000 | 31.623 | 0.199 | 5.033 |
| 10000 | 100 | 0.063 | 15.915 |
k 增大 100 倍 T 減為 1/10。週期僅取決於 m/k 比，與振幅無關。
理財情境案例
汽車避震器與調諧阻尼
汽車懸掛：彈簧 k≈20000 N/m、車體 m≈400kg（四輪分擔），T=2π√(400/20000)=2π·0.141=0.889s。太慢則搖晃、太快則顛簸。加阻尼器 γ≈0.3 使 2-3 次振盪後靜止。
台北101大樓調諧質量阻尼器：m=660噸、k≈1700 N/m（等效），T≈2π√(660000/1700)≈2π·19.7=123.7s。建築搖晃週期與阻尼器共振抵消。
香港中銀大廈用阻尼器減風振。彈簧振子原理為結構抗震基礎。
機械鐘與擺輪遊絲
機械錶擺輪：遊絲等效 k≈0.02 N/m、擺輪 m≈0.0001kg，T=2π√(1e-4/0.02)=2π·0.0707=0.444s，頻率 2.25Hz=每秒擺4.5次。瑞士標準 28800 bph（每小時振盪次數）。
等時性使擺輪週期不受振幅影響——上發條力遞減不影響走時精度。但溫度影響遊絲彈性和擺輪慣性（熱膨脹），需用合金補償（如 Nivarox）。
音叉 f=440Hz：等效 k/m 使 ω=2π·440=2765 rad/s。石英錶取代機械錶（壓電振盪 32768Hz 更精確）。
常見問題
為什麼週期與振幅無關？
簡諧運動 F=-kx，運動方程 mẍ=-kx 為線性微分方程。解 x=Acos(ωt+φ)，角頻率 ω=√(k/m) 不含振幅 A。故無論振幅大小（線性範圍內），週期相同。這是 Galileo 發現的等時性。但大振幅超出線性範圍時（彈簧極限、擺角>15°），週期會略增（非線性效應）。
k 值如何測量？
掛已知質量 m，測伸長 x，k=mg/x。或用已知 m 測週期 T，k=4π²m/T²。後者更精確（無摩擦誤差）。複雜彈簧系統（並聯、串聯）等效 k：並聯 k_eq=k1+k2；串聯 1/k_eq=1/k1+1/k2。汽車懸掛多彈簧並聯。
彈簧振子與單擺有何區別？
彈簧振子回復力 F=-kx（虎克定律），週期 T=2π√(m/k)。單擺回復力 F=-mg·sinθ≈-mgθ/x（小角近似），週期 T=2π√(L/g)。兩者皆簡諧運動，但回復力來源不同（彈性 vs 重力分量）。大角擺非簡諧（週期隨振幅增大），彈簧在大伸長也非線性。
如何計算最大速度與加速度？
x=Acos(ωt+φ)，v=-Aω·sin(ωt+φ)，a=-Aω²·cos(ωt+φ)。最大值：v_max=Aω、a_max=Aω²。能量守恆：½kA²=½mv²_max，v_max=A·√(k/m)=Aω。加速度最大值 a_max=ω²·A。大振幅對應大力 F_max=kA。
避震器為什麼要加阻尼？
純彈簧振子永不停（理想無阻尼）。實際有空氣阻力+內摩擦（欠阻尼）。但衰減慢、搖晃數秒。避震器加黏性阻尼（油壓活塞）使 2-3 次振盪後靜止（Q≈2-3）。阻尼過大（過阻尼）緩慢回正無振盪；過小（欠阻尼）搖晃。臨界阻尼（γ=ω/2）為最佳回正。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。T=2π√(m/k)。Galileo 等時性、Hooke 1676。避震器、鐘錶、抗震阻尼。等時性、線性範圍。