火箭方程計算器
輸入排氣速度、初始與最終質量，計算速度增量與質量比。v_e=4500, m₀=100, m₁=10 → Δv≈10362 m/s。
輸入資料
計算結果
重點速覽：火箭方程（Konstantin Tsiolkovsky 1903，俄國航天先驅）：在無外力（重力、阻力可忽略）作用下，火箭通過噴射推進劑獲得的速度變化 Δv=v_e·ln(m₀/m₁)，其中 v_e 為排氣速度（相對火箭）、m₀ 為初始質量、m₁ 為最終質量。推導：動量守恆。dt 時間內火箭噴射 dm 質量（dm<0 為火箭質量減少），噴射氣體相對速度 v_e，火箭獲得動量變化 dmv=v_e·(-dm)。積分得 Δv=∫v_e·(-dm/m)=v_e·ln(m₀/m₁)。物理意義：(1) 指數增長：要加倍 Δv 需 e²≈7.4 倍質量比，化學火箭多級是必然；(2) 排氣速度決定效率：v_e 越高單位燃料 Δv 越大，故離子推進（v_e~30 km/s）遠勝化學火箭（4.5 km/s）；(3) 酬載質量比悲觀：m₁/m₀=e^(Δv/v_e)，Δv=10 km/s、v_e=4.5 km/s → m₁/m₀=e^2.22≈0.108。歷史：Tsiolkovsky 1903 推導，與 Goddard（美）、Oberth（德）並稱航天三先驅。應用：(1) 太空任務軌道設計；(2) 多級火箭質量分配；(3) 星際導航 Δv 預算；(4) 離子推進、核推進設計；(5) 火箭燃料估算。
計算公式
火箭方程：Δv = v_e·ln(m₀/m₁)
動量守恆推導：dm·v + m·dv = 0
質量比：R = m₀/m₁
酬載比：m₁/m₀ = e^(−Δv/v_e)
多級疊加：Δv_總 = Σ v_ei·ln(m₀i/m₁i)
$$\Delta v = v_e \ln\left(\frac{m_0}{m_1}\right), \quad R = \frac{m_0}{m_1}, \quad \frac{m_1}{m_0} = e^{-\Delta v / v_e}$$使用說明
- 輸入排氣速度 v_e（m/s，化學火箭 4500）。
- 輸入初始質量 m₀（kg，含燃料）。
- 輸入最終質量 m₁（kg，燃料耗盡）。
- 系統計算速度增量 Δv、質量比與推進劑質量。
v_e=4500 m/s 各質量比速度增量
| 質量比 R | 情境 | Δv (m/s) | Δv (km/s) |
|---|---|---|---|
| 2 | 小型 | 3119 | 3.12 |
| 5 | 中型 | 7245 | 7.24 |
| 10 | 大型 | 10362 | 10.36 |
| 20 | 巨型 | 13489 | 13.49 |
| 50 | 極限 | 17584 | 17.58 |
Δv∝ln(R)：R 加倍僅 Δv+ln2≈0.693·v_e。Δv=10 km/s 需 R≈9.16（化學火箭）。Δv=20 km/s 需 R≈83.8（單級不可行）。
理財情境案例
Falcon 9 與 Falcon Heavy
SpaceX Falcon 9 一級 v_e~340 s·9.81=3335 m/s、m₀=549e3 kg、m₁~28e3 kg → Δv≈9.0 km/s（近地軌道需求 9.4 km/s，含重力阻力損失）。
香港可觀看 Falcon 9 發射直播。SpaceX 實現一級回收降低成本 30%。多級火箭就是火箭方程的直接應對策略。
Falcon Heavy 三級助推、酬載 63.8 t 至近地軌道、16 t 至火星。可載人繞月商用任務。
離子推進 Deep Space 1
NASA Deep Space 1 探測器（1998）用氙離子推進 v_e=30 km/s、質量比 1.21 → Δv=5.6 km/s，燃料僅 74 kg。
化學火箭相同 Δv 需質量比 1.36（燃料多 80%）。離子推進雖推力小（92 mN），但長期加速效率遠勝化學。
香港中文大學參與中國嫦娥探月任務研究。離子推進是星際導航的未來——Dawn、Hayabusa、SMART-1 皆用。
常見問題
為什麼火箭方程是對數？
動量守恆：火箭加速時自身質量減少，加速度增大。微積分：dm·v_e=m·dv → dv=v_e·(-dm/m)，積分 Δv=v_e·∫(-dm/m)=v_e·ln(m₀/m₁)。對數來自質量變化進入被積函數。若質量不變則 Δv=v_e·(Δm/m) 線性；質量變化使後期加速更有效（同等燃料獲得更多 Δv）。
為什麼要多級火箭？
單級化學火箭 Δv 上限~9-10 km/s（v_e=4.5 km/s、R=8），但近地軌道需求 9.4 km/s、火星任務 13 km/s、星際 20+ km/s。多級丟棄空箱：第一級燃料耗盡後拋棄，第二級開始加速的 m₀ 大幅降低，相同 Δv 需較小質量比。多級 Δv 疊加 Δv_總=Σ v_ei·ln(Ri)。一般 2-3 級最經濟，過多級結構質量增大反而效率降低。
排氣速度與比沖關係？
比沖 Isp=v_e/g₀，單位秒。化學火箭 Isp=250-450 s；液氫液氧 450 s（v_e=4.41 km/s）；固態火箭 200-280 s；離子推進 3000-5000 s（v_e=30-50 km/s）。比沖越高單位燃料 Δv 越大，但推力通常越小。化學火箭推力大但效率低；離子推進高效但推力小，適合長期星際導航。
離子推進為何優於化學？
排氣速度高 6-10 倍（30 km/s vs 4.5 km/s），相同質量比 Δv 高 6-10 倍。但推力極小（mN 級），加速需數月。優勢：燃料用量大幅減少（酬載比高），星際任務性價比高。劣勢：無法脫離地球重力（需化學火箭助推）。適合深空導航。Hayabusa2 採樣返回、Dawn 灶神星穀神星雙探測皆用離子推進。
火箭方程有外力修正嗎？
標準火箭方程無外力。實際需修正：(1) 重力損失 Δv_g=g·t_burn（垂直發射段）；(2) 阻力損失 Δv_d=∫D/m dt（大氣層段）；(3) 壓力推力修正 v_e_eff=v_e+(p_exit-p_atm)·A/m_dot。總需求 Δv=Δv_軌道+Δv_g+Δv_d。近地軌道軌道速度 7.8 km/s，但實際需求 9-10 km/s 含損失。故火箭方程為理想極限，實際設計需修正。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。Δv=v_e·ln(m₀/m₁)。Tsiolkovsky 1903。對數增長→多級火箭必然。離子推進 v_e=30 km/s。Falcon 9、Deep Space 1。比沖 Isp=v_e/g₀。酬載比 m₁/m₀=e^(−Δv/v_e)。