克卜勒第三定律計算器
輸入半長軸與中心質量，計算軌道週期、軌道速度與克卜勒比。a=1.496e11m, M=太陽 → T≈365天、v≈29.8 km/s。
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計算結果
重點速覽：克卜勒第三定律（Johannes Kepler 1619，《宇宙和諧論》）：繞同一中心天體運行的所有天體，軌道週期 T 的平方與半長軸 a 的立方成正比 T²∝a³，即 T²/a³ 為常數。牛頓 1687（《自然哲學的數學原理》）由萬有引力 F=GMm/r² 與向心力 F=mv²/r 推導得 T²=4π²a³/(GM)，其中 G=6.6743e-11 m³/(kg·s²) 為重力常數、M 為中心質量。圓軌道（橢圓軌道近似）速度 v=√(GM/a)。推導：(1) 萬有引力提供向心力 GMm/a²=mv²/a → v=√(GM/a)；(2) 週期 T=2πa/v=2πa·√(a/GM)=2π√(a³/(GM))；(3) T²=4π²a³/(GM)。物理意義：軌道週期僅依賴半長軸與中心質量，與衛星本身質量無關——這是等效原理的體現。歷史：克卜勒由 Tycho Brahe 的火星觀測數據歸納三定律，牛頓用萬有引力解釋其根本原因。應用：(1) 行星衛星軌道計算；(2) 同步衛星軌道高度設計（a≈42164 km）；(3) 太空任務軌道設計（Hohmann 轉移軌道）；(4) 系外行星質量估計（由恆星光變週期）；(5) 雙星系統總質量測定。
計算公式
軌道週期：T = 2π·√(a³/(GM))
圓軌道速度：v = √(GM/a)
克卜勒比：T²/a³ = 4π²/(GM)
牛頓重力：F = GMm/r²
向心力：F = mv²/r → v² = GM/r
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}}, \quad v = \sqrt{\frac{GM}{a}}, \quad \frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$$使用說明
- 輸入半長軸 a（m，地球軌道 1.496e11）。
- 輸入中心質量 M（kg，太陽 1.989e30）。
- 系統計算軌道週期 T、軌道速度 v 與克卜勒比。
太陽系各天體軌道（M=太陽 1.989e30 kg）
| 天體 | a (m) | T (s) | T (天) |
|---|---|---|---|
| 水星 | 5.79e10 | 7.60e6 | 88.0 |
| 金星 | 1.082e11 | 1.94e7 | 224.7 |
| 地球 | 1.496e11 | 3.156e7 | 365.25 |
| 火星 | 2.279e11 | 5.94e7 | 687.0 |
| 木星 | 7.785e11 | 3.74e8 | 4332.6 |
T²/a³ 為常數 2.97e-19 s²/m³（=4π²/(GM_太陽)）。週期平方與半長軸立方成正比，與衛星質量無關。
理財情境案例
地球同步衛星軌道
通訊衛星須與地球自轉同步（恆星日 86164 s），由 T²=4π²a³/(GM_地球) 反推 a=³√(GMT²/4π²)=42164 km。
香港太空館與香港電台通訊依賴亞洲衛星如亞洲衛星、亞太衛星位於同步軌道。
GPS 衛星位於半同步軌道（12 小時週期、a≈26560 km），每日繞地 2 圈確保全球覆蓋。
Hohmann 轉移軌道
Hohmann 轉移為最節省燃料的軌道變換：橢圓軌道與兩圓軌道相切，半長軸 a=(r₁+r₂)/2。
地球至火星 Hohmann 轉移：a=(1.496+2.279)e11/2=1.888e11 m，T=2π√(a³/(GM_太陽))≈2.59e7 s≈8.5 月。
火星探測器如 NASA 毅力號、好奇號皆用 Hohmann 軌道。香港沒有自主火箭發射能力，但參與國際太空合作。
常見問題
為什麼 T² 與 a³ 成正比？
由牛頓萬有引力推導：圓軌道向心力由重力提供 GMm/a²=mv²/a → v=√(GM/a)。週期 T=2πa/v=2π√(a³/(GM))，平方得 T²=4π²a³/(GM)。對同一中心質量 M，T²/a³=4π²/(GM) 為常數。這是牛頓力學與克卜勒經驗定律的一致性證明。
週期與衛星質量有關嗎？
無關。牛頓第二定律與萬有引力：ma=GMm/a² 中衛星質量 m 兩邊消去，得 a²=GM（與 m 無關）。等效原理：所有物體在重力場中相同加速度。這也是愛因斯坦廣義相對論的等效原理基礎。月球質量 7.342e22 kg 對地球軌道影響極微，但雙星系統中兩質量可比時需用約化質量修正。
橢圓軌道也適用嗎？
適用。克卜勒第三定律適用橢圓軌道，半長軸 a 為橢圓長軸之半。週期 T=2π√(a³/(GM)) 與離心率無關——同 a 不同離心率週期相同。這是克卜勒原始觀測的結論。圓軌道為橢圓離心率 0 的特例。等面積定律（克卜勒第二定律）保證近日點快、遠日點慢但總週期不變。
同步軌道高度怎麼算？
由 T²=4π²a³/(GM) 反解 a=³√(GMT²/4π²)。地球同步：T=恆星日 86164 s、M=5.972e24 kg → a=42164 km（離地約 35786 km）。這是通訊衛星標準軌道。火星同步：T=88643 s、M=6.39e23 kg → a=20430 km。月球同步軌道因自轉慢而極高。
如何測量系外行星質量？
觀測恆星週期性亮度變化（淩日法）或徑向速度變化（都卜勒法）得行星軌道週期 T。若知恆星質量 M（由光譜類型估算），由 T²=4π²a³/(GM) 反推半長軸 a。雙星系統可由兩者共同繞質心的軌道反推總質量 M₁+M₂=a³/(GT²/4π²)。Kepler、TESS 太空望遠鏡已發現 5000+ 系外行星。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。T²=4π²a³/(GM)。Kepler 1619、Newton 1687。週期僅依賴 a 與 M。同步軌道 a=42164km。Hohmann 轉移。v=√(GM/a)。G=6.6743e-11。