RL時間常數計算器
輸入電感與電阻，計算 RL 時間常數 τ=L/R。L=0.1H、R=100Ω → τ=1ms。
輸入資料
計算結果
重點速覽：RL 時間常數（RL time constant，1851）：電感 L 與電阻 R 串聯接電壓源時，電流變化的時間尺度 τ=L/R（秒）。物理推導：電感電壓 V=L·dI/dt，電阻電壓 V_R=I·R，KVL：V=L·dI/dt+I·R，解微分方程得充電 I(t)=I∞·(1-e^(-t/τ))，I∞=V/R；放電 I(t)=I₀·e^(-t/τ)。指數衰減時間常數 τ=L/R：1τ 後達 63.2%、2τ 達 86.5%、3τ 達 95.0%、5τ 達 99.3%。半衰期 t½=τ·ln(2)≈0.693τ。經典例：(1) 繼電器 L=10mH、R=100Ω → τ=100μs，吸合延遲約 0.5ms；(2) 馬達 L=1mH、R=0.1Ω → τ=10ms，啟動電流緩升；(3) 電源濾波 L=100μH、R=0.01Ω → τ=10ms，濾波響應慢但紋波小；(4) 繼電器滅弧電路 R=Vce/I、L=線圈 → τ 過大時觸點拉弧損壞。歷史：亥維賽 1880 年代引入「時間常數」概念於 RL/RC 電路分析。應用：(1) 繼電器——延遲吸合釋放；(2) 馬達——軟啟動；(3) 電源濾波——抑制紋波；(4) 訊號延遲——RC/RL 一階低通；(5) 電感滅弧——保護開關。
計算公式
時間常數：τ = L / R（s）
充電電流：I(t) = I∞·(1 - e^(-t/τ))
放電電流：I(t) = I₀·e^(-t/τ)
半衰期：t½ = τ·ln(2) ≈ 0.693·τ
5τ 後達穩態 99.3%
$$\tau = \frac{L}{R}, \quad I(t) = I_\infty (1 - e^{-t/\tau}), \quad t_{1/2} = \tau \ln 2 \approx 0.693\tau$$使用說明
- 輸入電感 L（H）與電阻 R（Ω）。
- 系統計算 τ=L/R、τ(ms)、t½=0.693τ、5τ。
- 常用：10mH+100Ω → 100μs；1H+1kΩ → 1ms；100mH+10Ω → 10ms。
常見 RL 時間常數
| 應用 | 電感 L | 電阻 R | 時間常數 τ | 備註 |
|---|---|---|---|---|
| 繼電器 | 10 mH | 100 Ω | 100 μs | 吸合延遲 |
| 馬達啟動 | 1 mH | 0.1 Ω | 10 ms | 電流緩升 |
| 電源濾波 | 100 μH | 0.01 Ω | 10 ms | 低紋波 |
| 訊號延遲 | 1 H | 1 kΩ | 1 ms | 一階低通 |
| 變壓器 | 10 H | 1 kΩ | 10 ms | 湧流衰減 |
| 音頻分頻 | 10 mH | 8 Ω | 1.25 ms | 分頻 127Hz |
| 點火線圈 | 5 mH | 5 Ω | 1 ms | 車用點火 |
τ 與 L 成正比、與 R 成反比。L 大磁場慣性強電流緩變；R 大阻尼強衰減快。5τ 為工程上「穩態」。
理財情境案例
繼電器吸合延遲設計
12V 繼電器線圈 L=10mH、R=100Ω，τ=L/R=100μs。
通電後電流 I(t)=0.12A·(1-e^(-t/100μs))，2τ=200μs 時達 86.5%，5τ=500μs 達 99.3%。
吸合閾值 80% 額定電流，故吸合延遲約 1.6τ=160μs；並聯二極體滅弧時釋放 τ=L/(R+R_d)，時間延長但避免反向 200V 擊穿電晶體。
馬達軟啟動電路
直流馬達 L=1mH、繞組 R=0.1Ω，τ=10ms。
直接通電時湧流 I(t)=V/R·(1-e^(-t/τ))，5τ=50ms 達穩態 V/R=12V/0.1Ω=120A，超出馬達額定。
軟啟動串聯 0.5Ω 電阻：τ=L/(R+r)=1mH/0.6Ω=1.67ms 加速電流建立但限制峰值至 20A；PWM 軟啟動逐步提升占空比 0→100% 於 100ms 內，相當於 6τ，避免機械衝擊與電流衝擊。
常見問題
為什麼 RL 時間常數 τ=L/R？
電感電壓 V=L·dI/dt，KVL：V=L·dI/dt+I·R。整理 dI/dt+(R/L)·I=V/L，這是一階線性微分方程，指數衰減係數為 R/L，故時間常數 τ=L/R（衰減時間倒數）。物理意義：L 大磁場慣性強電流難變化（τ 大）；R 大阻尼強電流快速衰減（τ 小）。對偶於 RC 時間常數 τ=RC。
為什麼工程上以 5τ 視為穩態？
指數衰減 1-e^(-5)≈0.9933，即 5τ 後電流達穩態值 99.3%，誤差小於 0.7%。3τ 達 95%、4τ 達 98.2%、5τ 達 99.3%、6τ 達 99.75%、7τ 達 99.91%。工程實用：5τ 後殘餘誤差小於測量儀器精度，視為穩態。設計濾波、繼電器時序時以此為準。
電感斷電為何會產生高壓？
電感電流不能瞬變 V=L·dI/dt。開關瞬間 dI/dt 極大（μs 級），產生 V=L·dI/dt 可達數百伏甚至數千伏（汽車點火線圈 5mH 斷電產生 20kV+ 點燃火花塞）。解決方法：(1) 續流二極體反向並聯——提供放電迴路，電壓限制 -0.7V；(2) TVS 二極體——吸收突波；(3) RC 緩衝器——限制電壓上升率。續流時 τ=L/R 新時間常數延長放電時間。
RL 與 RC 時間常數有什麼對偶關係？
RL 時間常數 τ=L/R，RC 時間常數 τ=RC。對偶性：電感（磁能儲能）對偶於電容（電能儲能），電流對偶於電壓，電阻對偶於電導。RL 充電電流緩升（磁場建立）、電壓瞬跳；RC 充電電壓緩升（電場建立）、電流瞬跳。RL 一階低通對偶 RC 一階低通，頻率響應形式相似。物理本質：均為一階線性系統指數趨向穩態。
如何量測電感量 L？
(1) RLC 電橋——諧振頻率 f=1/(2π√(LC))，已知 C 求 L=1/(4π²f²C)；(2) LCR 表——直接測量阻抗 Z=R+jωL；(3) 時間常數法——階躍電壓後測 τ=L/R，已知 R 求 L=τ·R；(4) 電流響應法——測 dI/dt 與 V 反推 L=V/(dI/dt)。射頻電感常用網路分析儀測 S 參數；功率電感用 LCR 表 100kHz 測試；高頻需考慮寄生電容與 ESR。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。τ=L/R，t½=0.693τ，5τ 達 99.3%。L=0.1H、R=100Ω → τ=1ms、t½=0.693ms、5τ=5ms。充電 I=I∞(1-e^(-t/τ))；放電 I=I₀·e^(-t/τ)。