約化質量計算器
輸入兩質量，計算約化質量與質量比。H-Cl: m₁=1, m₂=35 → μ≈0.972（Cl 為主）。
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計算結果
重點速覽：約化質量（reduced mass）：二體問題中將兩質點相對運動簡化為等效一體問題的質量 μ=m₁m₂/(m₁+m₂)。推導：兩質點 m₁、m₂ 在中心力 F(r) 下運動，分離變數後相對運動方程 μ·d²r/dt²=F(r)，其中 μ 為約化質量。物理意義：(1) 兩質量相等時 μ=m/2（折半）；(2) m₁≪m₂ 時 μ≈m₁（輕者為主，如電子-原子、行星-恆星）；(3) μ 恆小於 min(m₁,m₂)；(4) 總質量 M=m₁+m₂ 與 μ 關係 μ=M·q/(1+q)²（q=m₁/m₂）；(5) 質心運動（M）與相對運動（μ）分離，故二體問題簡化為兩個一體問題。歷史：牛頓萬有引力推導雙星軌道用約化質量，量子力學氫原子用 μ 修正波爾模型。應用：(1) 雙星、行星-恆星軌道（克卜勒第三定律 μ 修正）；(2) 分子振動光譜（諧振子頻率 ω=√(k/μ)）；(3) 氫原子 Rydberg 常數修正（μ 代替 m_e）；(4) 轉動光譜轉動慣量 I=μr²；(5) 二體量子力學、散射問題；(6) 同位素效應（μ 不同振動頻率不同）。
計算公式
約化質量：μ = m₁·m₂/(m₁ + m₂)
總質量：M = m₁ + m₂
質量比：q = m₁/m₂
μ = M·q/(1+q)²
極限：m₁≪m₂ → μ≈m₁；m₁=m₂ → μ=m/2
$$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{M q}{(1+q)^2}, \quad M = m_1 + m_2, \quad q = \frac{m_1}{m_2}$$使用說明
- 輸入質量 m₁（kg）。
- 輸入質量 m₂（kg）。
- 系統計算約化質量 μ、質量比與總質量。
各種二體系統約化質量
| 系統 | m₁ | m₂ | μ | μ/min(m) |
|---|---|---|---|---|
| H-Cl 分子 | 1 | 35 | 0.972 | 0.972 |
| H₂ 分子 | 1 | 1 | 0.5 | 0.5 |
| 地球-太陽 | 5.972e24 | 1.989e30 | 5.972e24 | ~1 |
| 電子-質子 | 9.109e-31 | 1.673e-27 | 9.104e-31 | ~1 |
| 雙中子星 | 1.4M☉ | 1.4M☉ | 0.7M☉ | 0.5 |
μ 恆小於 min(m₁,m₂)。輕者懸殊時 μ≈輕者。兩者相等時 μ=m/2。
理財情境案例
分子振動光譜與同位素效應
分子振動為諧振子，頻率 ω=√(k/μ)，k 為鍵力常數、μ 為約化質量。H-Cl μ≈0.972 amu、D-Cl μ≈1.91 amu，故 ω(D-Cl)/ω(H-Cl)=√(0.972/1.91)≈0.714——氘代化合物振動頻率低 30%。
香港大學化學系紅外光譜儀測量分子振動。同位素效應驗證 μ 修正。生物分子氘代用於 NMR、蛋白質結構研究。
轉動光譜轉動慣量 I=μr²，μ 修正使同位素分子轉動常數不同。微波光譜測分子鍵長精確至 1e-12 m。
氫原子 Rydberg 常數與雙星軌道
波爾模型 Rydberg 常數 R_∞=m_e e⁴/(8ε₀²h³c)。實際氫原子需 μ_e,p=m_e·m_p/(m_e+m_p)≈0.999m_e 修正，R_H=R_∞·μ/m_e≈R_∞·0.999。實驗值 R_H=1.0967758e7 /m，驗證 μ 修正。
雙星系統：克卜勒第三定律 T²=4π²a³/(G(M₁+M₂))。M₁≈M₂ 時需用 μ 修正而非總質量。雙中子星 PSR B1913+16 觀測驗證廣義相對論引力波輻射，Hulse-Taylor 1993 諾貝爾獎。
香港中文大學物理系參與國際重力波研究 LIGO、LISA。μ 修正是精確軌道計算關鍵。
常見問題
為什麼需要約化質量？
二體問題原本 6 變數（兩質點 3D 位置）。分離變數後質心運動（3 變數，質量 M=m₁+m₂）與相對運動（3 變數，質量 μ=m₁m₂/(m₁+m₂)）獨立。相對運動用 μ 為等效質量，將二體簡化為一體問題。牛頓引力、庫倫力、諧振子等中心力皆適用。這是古典力學、量子力學、分子光譜的基本技巧。
約化質量何時近似輕者？
m₁≪m₂ 時 μ=m₁m₂/(m₁+m₂)≈m₁m₂/m₂=m₁。如電子-質子 μ≈m_e、地球-太陽 μ≈m_地球。此近似使計算大幅簡化（重者視為靜止）。但精確測量（如 Rydberg 常數）需 μ 修正：m_e/m_p≈1/1836，故 μ≈0.999455m_e，偏差 5.4e-4。
兩質量相等時為什麼是 m/2？
μ=m·m/(m+m)=m²/(2m)=m/2。直觀：兩等質量物體相對運動等效為半質量物體。振動頻率 ω=√(k/μ)，雙原子分子 H₂、O₂、N₂ μ=m/2，比同鍵的單質量諧振子頻率高 √2 倍。氫分子 H₂ ω~4400 cm⁻¹ 為所有分子最高（μ 最小）。
約化質量與轉動慣量關係？
雙原子分子繞質心轉動慣量 I=μr²，r 為鍵長。轉動光譜能量 E_J=J(J+1)ℏ²/(2I)=J(J+1)ℏ²/(2μr²)。微波光譜測 E_J 反推 I 進而得 r。μ 修正使同位素分子轉動常數不同——HCl、DCl 轉動常數比 μ(HCl)/μ(DCl)≈0.514。
雙星軌道用約化質量嗎？
用。雙星系統 M₁、M₂ 互繞質心，相對運動方程 μ·d²r/dt²=-GM₁M₂/r²·r̂，等效單體質量 μ 受 GM₁M₂ 中心力。克卜勒第三定律 T²=4π²a³/(G(M₁+M₂))。當 M₁≪M₂ 時 μ≈M₁，等效 M₂ 靜止 M₁ 繞轉。雙脈衝星 PSR J0737-3039 兩中子星質量相近 μ=M/2，軌道精確測量驗證廣義相對論。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。μ=m₁m₂/(m₁+m₂)。二體問題等效一體。m₁≪m₂ → μ≈m₁；m₁=m₂ → μ=m/2。分子振動 ω=√(k/μ)、轉動 I=μr²、氫原子 Rydberg 修正。