質心計算器
輸入兩粒子質量與位置，計算一維質心 r_cm=(m₁x₁+m₂x₂)/(m₁+m₂)。m₁=m₂=1kg、x₁=0、x₂=2m → r_cm=1m。
輸入資料
計算結果
重點速覽：質心（Center of mass）：物體系統中質量分布的加權平均位置。對於兩個粒子在一維上的情況，質心位置 r_cm=(m₁x₁+m₂x₂)/(m₁+m₂)，其中 m₁、m₂ 為粒子質量，x₁、x₂ 為粒子位置。推廣至 n 個粒子：r_cm=Σ(mᵢxᵢ)/Σmᵢ；三維則各分量獨立計算。質心具有特殊性質：(1) 質心運動遵守牛頓第二定律 F_net=M·a_cm，僅依賴外力總和，與內力無關；(2) 無外力時質心速度恆定（動量守恆）；(3) 對稱物體（如均勻球、圓盤）質心位於幾何中心。歷史：牛頓《自然哲學的數學原理》(1687) 隱含質心概念；歐拉 1740 年系統化質心運動定律；拉格朗日引入質心坐標系簡化多體問題。經典例：等質量等距 m₁=m₂=1kg、x₁=0、x₂=2m → r_cm=1m（中點）；不對稱 m₁=2kg、x₁=0、m₂=1kg、x₂=3m → r_cm=(2·0+1·3)/(2+1)=1m（偏向重粒子）。應用：(1) 剛體力學——轉動慣量參考點；(2) 行星運動——地月系統繞共同質心；(3) 碰撞分析——質心系動量守恆；(4) 工程平衡——重心與穩定性；(5) 人體運動——運動員跳躍姿態調整。
計算公式
質心位置：r_cm = (m₁·x₁ + m₂·x₂) / (m₁ + m₂)
推廣（n 粒子）：r_cm = Σ(mᵢ·xᵢ) / Σmᵢ
總質量：M = m₁ + m₂
質量分數：fᵢ = mᵢ / M
質心運動定律：F_net = M·a_cm
$$r_{\text{cm}} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}, \quad \vec{F}_{\text{net}} = M \vec{a}_{\text{cm}}$$使用說明
- 輸入粒子1質量 m₁（kg）與位置 x₁（m）。
- 輸入粒子2質量 m₂（kg）與位置 x₂（m）。
- 系統計算質心 r_cm、總質量 M、質量分數。
- 常用：m₁=m₂=1、x₁=0、x₂=2 → r_cm=1m；m₁=2、m₂=1、x₂=3 → r_cm=1m。
雙粒子質心範例
| m₁ (kg) | x₁ (m) | m₂ (kg) | x₂ (m) | r_cm (m) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 2 | 1.0 |
| 2 | 0 | 1 | 3 | 1.0 |
| 3 | 0 | 1 | 4 | 1.0 |
| 1 | 0 | 3 | 4 | 3.0 |
| 5 | 0 | 5 | 10 | 5.0 |
等質量時質心位於中點；不等質量時質心偏向較重粒子。3:1 質量比時 r_cm 位於距重粒子 1/4 處。
理財情境案例
地月系統共同質心
地球質量 5.972e24 kg、月球 7.342e22 kg（1/81），距離 384400 km。
r_cm=(M_e·0+m_m·d)/(M_e+m_m)=7.342e22×3.844e8/(6.046e24)=4670 km，位於地球內部（半徑 6371 km）。
故地月繞共同質心運動，地球沿小橢圓（半徑 4670 km）擺動，月球沿大橢圓（半徑 379730 km）。共同質心繞太陽公轉。
人體質心與跳躍
站立人體質心約位於肚臍下方 5cm（脊椎 S2 處），約身高 55% 處。
跳躍時透過收腿、舉臂調整質心相對位置，使質心軌跡為拋物線而身體姿態變化。Fosbury flop 跳高利用上身向後彎曲使質心低於橫桿（理論上可低於橫桿 20cm）。
體操選手空中收腿使轉動慣量減小、角速度增大，落地前伸展減速。質心軌跡由重力決定，與身體姿態無關。
常見問題
質心與重心有何不同？
質心是質量分布的幾何中心，與重力無關；重心是重力合力的作用點。均勻重力場中（如地球表面）質心與重心重合。非均勻重力場（如太空電梯、潮汐問題）重心偏離質心。衛星軌道動力學用質心，潮汐問題用重心。
為什麼質心運動不受內力影響？
牛頓第三定律：內力成對出現且等大反向，總和為零。故 F_net=ΣF_external=M·a_cm，內力相互抵消。爆炸、碰撞、旋轉等內力改變物體各部分運動，但質心運動只受外力決定。例如：炮彈爆炸後碎片質心仍沿原拋物線運動。
如何推廣到三維與連續體？
三維：r_cm=Σ(mᵢrᵢ)/Σmᵢ，各分量獨立計算。連續體：r_cm=∫ρr dV / ∫ρ dV。均勻物體（密度均勻）質心=幾何中心，如均勻球心、圓盤中心、三角板中線交點。不均勻物體需積分計算。
等質量雙粒子質心位置為何在中點？
m₁=m₂ 時 r_cm=(m·x₁+m·x₂)/(2m)=(x₁+x₂)/2，即算術平均（中點）。不等質量時 r_cm 為加權平均，偏向較重粒子。3:1 質量比時 r_cm 位於距重粒子 1/4 處：r_cm=(3·0+1·4)/4=1m（距重粒子 1m=4m×1/4）。
為什麼旋轉體運動分析常用質心參考系？
質心參考系（com frame）中系統總動量為零，分析簡化。剛體運動分解為質心平動+繞質心轉動：動能 K=½Mv_cm²+½Iω²。碰撞問題中質心系動量守恆、能量計算簡化。粒子物理常用質心能量（如 LHC 13 TeV）描述反應閾值。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。質心 r_cm=(m₁x₁+m₂x₂)/(m₁+m₂)，推廣 r_cm=Σ(mᵢxᵢ)/Σmᵢ。等質量時位於中點；3:1 比例時位於距重粒子 1/4 處。地月質心距地心 4670 km。牛頓 F=M·a_cm 不受內力影響。