平行軸定理計算器
輸入通過質心的轉動慣量 I_cm、物體質量 m、兩平行軸距離 d，依 I = I_cm + m·d² 快速求得偏移軸的總轉動慣量。
輸入資料
計算結果
重點速覽：平行軸定理（Steiner 定理，17 世紀 Christian Huygens / Jakob Steiner）：已知剛體相對於通過質心軸的轉動慣量 I_cm，則相對於與該軸平行、相距 d 之任意軸的轉動慣量 I = I_cm + m·d²。這條定理的直觀含義是：『把旋轉軸平移，相當於額外附加一個把物體看成質點、繞新軸轉的 m·d²』。它使我們只需知道少數典型形狀的 I_cm，即可推導任何偏移軸的 I；組合物體時也可用於各零件各自偏移後疊加。
計算公式
平行軸定理：I = I_cm + m · d²
說明：I_cm 為質心軸轉動慣量；m 為物體總質量；d 為兩平行軸垂直距離。
垂直軸定理（平面剛體，補充）：I_z = I_x + I_y（z 垂直平面）。
$$I = I_{cm} + m \cdot d^2$$使用說明
- 在「物體參數」中填入：質心軸轉動慣量 I_cm（kg·m²）、物體質量 m（kg）。
- 在「偏移」中填入：兩平行軸距離 d（m）。
- 系統立即算出修正項 m·d² 與總轉動慣量 I。
- 負值輸入會自動取絕對值或夾為 0，避免負轉動慣量。
典型 I_cm 形狀下，改變 d 的 I 比較（m=2 kg 固定）
| 物體 I_cm (kg·m²) | d (m) | m·d² (kg·m²) | I 總 (kg·m²) | I / I_cm（放大倍數） |
|---|---|---|---|---|
| 0.1 (細桿中段) | 0 | 0 | 0.100 | 1.00× |
| 0.1 (細桿中段) | 0.3 | 0.18 | 0.280 | 2.80× |
| 0.1 (細桿中段) | 0.5 | 0.50 | 0.600 | 6.00× |
| 0.2 (圓盤 10kg R=0.2m) | 0.2 | 0.40 | 0.600 | 3.00× |
| 0.08 (球 m=5kg R=0.2m) | 0.5 | 1.25 | 1.330 | 16.6× |
理財情境案例
細桿一端點的轉動慣量
長 L=1 m 細桿、m=2 kg，質心軸 I_cm = (1/12)·m·L² = (1/12)·2·1 = 1/6 ≈ 0.1667 kg·m²。
若把軸移到端點，則 d = L/2 = 0.5 m。由平行軸：I_end = I_cm + m·d² = 0.1667 + 2·0.25 = 0.6667 kg·m²。
與公式 (1/3)·m·L² = 0.6667 kg·m² 完全一致 ✓。
飛輪組合：滾動不打滑
圓盤飛輪 m=10 kg、R=0.2 m，I_cm = (1/2)·m·R² = 0.2 kg·m²。
分析接地面為瞬時轉動軸（滾動不打滑）：d = R = 0.2 m。
I_contact = I_cm + m·R² = 0.2 + 10·0.04 = 0.6 kg·m² = (3/2)·m·R²，符合滾動體能量 E_k = (1/2)·I·ω² 公式。
常見問題
平行軸定理能用在非質心 → 非質心的偏移嗎？
不能直接用。必須先回到質心 I_cm 當中繼點：I_B = I_cm + m·d_B²；I_A = I_cm + m·d_A²，兩式相減才能得到 I_A 與 I_B 的關係。
d 的方向有影響嗎？
沒有。公式是 d²，只看兩平行軸之間的最短垂直距離，與方向無關——所以本工具自動取絕對值。
為什麼轉動物體要知道 I？
轉動版牛頓第二定律 τ = I·α（力矩 = 轉動慣量 × 角加速度）。I 越大，同樣力矩下角加速度越小，即物體越抗拒改變其轉速（類似線性運動的質量）。
組合物體（例如機器手臂多段）怎麼算 I？
先把每一段拆開，各段用自身質心處的 I_cm(i) + m_i·d_i²（d_i 為該段質心到總軸的距離），然後全部相加：I_total = Σ [I_cm(i) + m_i·d_i²]。
和垂直軸定理差在哪？
平行軸：任意形狀、軸『平移』；垂直軸：只限『薄平面』物體在平面內兩互相垂直軸 (x, y) 與平面垂直 z 軸的 I_z = I_x + I_y 關係。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。平行軸定理與轉動慣量計算參考標準力學教材及香港中學文憑試（DSE）物理科課程。