量子穿隧計算器
輸入粒子質量、屏障高與寬、能量，計算穿隧係數。電子 V=1e-18J, E=5e-19J, L=1Å → T≈0.48。
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計算結果
重點速覽：量子穿隧（George Gamow 1928 用於解釋 α 衰變）：粒子可穿越比自身能量高的勢壘，機率非零。經典力學嚴格禁止（E<V 時反射率 100%），但量子力學波函數指數衰減於勢壘內，兩側波函數非零，穿隧係數 T>0。推導：薛定諤方程於矩形势壘 V(x)=V（0<x<L）、能量 E<V 之粒子：(1) 區域 I、III 自由波 ψ=Ae^(ikx)+Be^(-ikx)、ψ=Fe^(ikx)；(2) 區域 II 衰減波 ψ=De^(κx)+Ee^(-κx)，κ=√(2m(V-E))/ℏ。邊界條件（ψ、ψ' 連續）解得 T=|F/A|²=1/(1+V²sinh²(κL)/(4E(V−E)))。簡化近似 κL≫1 時 T≈16E(V-E)/V²·e^(-2κL)（指數衰減）。物理意義：(1) 波粒二象性→穿隧可能；(2) 穿隧機率與屏障寬指數衰減——寬屏障幾乎不可穿隧；(3) 質量大衰減快，宏觀物體穿隧機率可忽略。歷史：Gamow、Gurney-Condon 1928 用穿隧解釋 α 衰變半衰期範圍巨大（10⁵~10¹⁷ 年），驗證量子力學應用於核物理。應用：(1) α 衰變、核融合（太陽內部質子穿隧）；(2) 掃描穿隧顯微鏡 STM（1986 諾貝爾獎）；(3) 閃存寫入擦除（Fowler-Nordheim 穿隧）；(4) 超導約瑟夫森接面；(5) 隧穿二極。
計算公式
穿隧係數：T = 1/(1 + V²·sinh²(κL)/(4E(V−E)))
衰變常數：κ = √(2m(V−E))/ℏ
指數近似：T ≈ 16E(V−E)/V² · e^(−2κL)（κL≫1）
薛定諤方程：−ℏ²/(2m)·d²ψ/dx² + Vψ = Eψ
約化普朗克：ℏ = h/(2π) = 1.0546e-34 J·s
$$T = \frac{1}{1 + \frac{V^2 \sinh^2(\kappa L)}{4E(V-E)}}, \quad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar}, \quad T \approx \frac{16E(V-E)}{V^2} e^{-2\kappa L}$$使用說明
- 輸入粒子質量 m（kg，電子 9.109e-31）。
- 輸入屏障高 V（J，1 eV=1.602e-19 J）。
- 輸入粒子能量 E（J，需 E<V）。
- 輸入屏障寬 L（m，原子尺度 1e-10）。
- 系統計算穿隧係數 T、衰變常數 κ 與機率。
電子 m=9.109e-31 kg 各屏障穿隧係數
| V (J) | E (J) | L (m) | T |
|---|---|---|---|
| 1e-18 | 5e-19 | 1e-10 | 0.484 |
| 1e-18 | 5e-19 | 2e-10 | 0.054 |
| 1e-18 | 5e-19 | 5e-10 | 1.6e-5 |
| 1e-18 | 9e-19 | 1e-10 | 0.981 |
| 1e-18 | 1e-19 | 1e-10 | 5.4e-9 |
T 隨屏障寬指數衰減：L 加倍 T 大幅降低。E 接近 V 時 T 增大（衰減常數 κ 變小）。E≥V 時經典可越屏障 T=1。
理財情境案例
α 衰變與太陽核融合
原子核 α 衰變：α 粒子能量 4-9 MeV 但核力位壘 25 MeV，經典不可逃逸。Gamow 1928 用穿隧解釋——U²³⁸ 半衰期 4.5e9 年、Po²¹² 僅 0.3 微秒，差異源於 α 能量小變化造成穿隧機率指數變化。
太陽質子-質子鏈融合：兩質子需克服庫倫位壘 ~1.4 MeV 但熱運動僅 1.3 keV（太陽核心 1.5e7 K）。靠穿隧才能融合——若無穿隧太陽無法發光。
香港沒有核物理實驗室，但中文大學參與國際核融合研究。量子穿隧是核能與恆星物理的基石。
掃描穿隧顯微鏡 STM 與閃存
STM（Binning-Rohrer 1981，1986 諾貝爾獎）：金屬針尖與樣品間穿隧電流 I∝V·e^(-2κd)，κ=√(2mφ)/ℏ≈1e10/m。d 變化 0.1 nm 則 I 變化 e≈2.7 倍——原子解析度。
香港科技大學、中文大學物理系有 STM 設備，研究石墨烯、拓樸絕緣體。香港納米太陽能研究亦用 STM。
閃存 NAND 寫入擦除用 Fowler-Nordheim 穿隧：閘極加 20 V 電壓降低屏障、電子穿隧進浮動閘極儲存 10¹⁵ 次擦寫。手機、SSD 皆依賴穿隧。STM 與閃存為穿隧最直接應用。
常見問題
為什麼量子穿隧在經典力學不可能？
經典粒子能量 E<V 時動能負（T=E-V<0），經典禁止區域（屏障內）粒子不可達。反射率 100%、透射率 0。量子力學波函數滿足薛定諤方程於全空間，能量低於位壘時屏障內波函數指數衰減（非零），兩側波函數可耦合。測量粒子機率分佈發現有機率出現在屏障另一側。波粒二象性與不確定原理是穿隧根源。
穿隧機率與屏障寬關係？
指數衰減。κL≫1 時 T≈16E(V-E)/V²·e^(-2κL)。κ=√(2m(V-E))/ℏ≈1e10/m（電子、eV 級屏障）。L=1 Å 時 κL≈1，T~0.5；L=10 Å 時 κL≈10，T~e^(-20)≈2e-9。屏障加倍 T 大致平方倍衰減。這就是為何宏觀屏障（mm 級）穿隧機率為零，原子尺度才顯著。
α 衰變半衰期為何範圍巨大？
α 粒子能量小變化造成穿隧機率指數變化。Gamow 推導 log(λ)∝-η，η=2Zα·(2m(V-E))^0.5·L/ℏ。能量 5 MeV、屏障 25 MeV 時 κL≈100，能量 4 MeV 時 κL≈120，e^40≈10¹⁷ 倍半衰期差異。U²³⁸ 4.27 MeV、4.5e9 年；Po²¹² 8.95 MeV、0.3 μs。驗證穿隧指數依賴能量。
STM 如何達原子解析度？
穿隧電流 I∝V·e^(-2κd)，κ≈1 Å⁻¹（功函數 φ~5 eV）。針尖與樣品距離 d 變化 0.1 Å，電流變化 e^(0.2)≈1.22 倍。回饋控制保持電流恆定（定高模式）掃描樣品，d 變化反映原子凸凹。理論解析度 0.01 Å。STM 是少數能看單原子的工具。需真空、防震（壓電陶瓷步進 0.1 Å）。香港高校有 STM 設備。
閃存寫入擦除用什麼穿隧？
Fowler-Nordheim 穿隧：閘極加高電壓（20 V）使屏障傾斜、變薄，電子穿隧進浮動閘極儲存 0/1 數據。擦除反向穿隧。優勢：擦寫次數 10⁵、非破壞性讀取。劣勢：寫入慢、高電壓損耗氧化物。3D NAND 用電荷捕獲層替代浮動閘極更耐用。手機、SSD、隨身碟皆用此技術——量子穿隧是現代儲存技術基石。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。T=1/(1+V²sinh²κL/(4E(V−E)))。Gamow 1928 α 衰變。κ=√(2m(V-E))/ℏ。指數衰減 T∝e^(-2κL)。STM、閃存、核融合、約瑟夫森接面。