氫原子能階計算器
輸入主量子數 n₁、n₂，計算氫原子能階、躍遷能量與光子波長。Lyman α (2→1) ΔE≈10.2 eV、λ≈122 nm。
輸入資料
計算結果
重點速覽：玻爾氫原子模型（Niels Bohr 1913）：電子繞質子做圓周運動，軌道半徑量子化 r_n=n²·a₀（a₀=0.529 Å 玻爾半徑），對應能階 E_n=-13.6 eV/n²。推導：庫倫力=向心力 me²/r²·4πε₀=mv²/r；角動量量子化 L=mvr=nℏ；解得 r_n=n²a₀、v_n=αc/n（α 為精細結構常數）、E_n=-13.6/n² eV。躍遷：電子從高階 n₂ 跳到低階 n₁ 發射光子，ΔE=E_n2-E_n1=13.6(1/n₁²-1/n₂²) eV（n₂>n₁ 為正）；波長由 Rydberg 公式 1/λ=R(1/n₁²-1/n₂²)，R=1.097e7 m⁻¹。系列：Lyman（n₁=1，紫外）、Balmer（n₁=2，可見光）、Paschen（n₁=3，紅外）、Brackett（n₁=4）、Pfund（n₁=5）。歷史：Balmer 1885 先找到可見光系列經驗式；Bohr 1913 理論推導；後由 Schrödinger 量子力學嚴格化（能階與 Bohr 一致但軌道機率分佈不同）。應用：(1) 恆星光譜氫線分析；(2) 量子化學入門教學；(3) 雷射原理（受激輻射）；(4) 電漿診斷；(5) 氫原子光譜學。
計算公式
能階：E_n = -13.6 eV / n²
躍遷能量：ΔE = E_n2 − E_n1 = 13.6·(1/n₁² − 1/n₂²) eV
光子波長：λ = hc / |ΔE|
Rydberg 常數：R = 1.097×10⁷ m⁻¹
玻爾半徑：a₀ = 0.529 Å
$$E_n = -\frac{13.6\,\text{eV}}{n^2}, \quad \Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = 13.6\left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)\,\text{eV}, \quad \lambda = \frac{hc}{|\Delta E|}$$使用說明
- 輸入主量子數 n₁（≥1，基態 1）。
- 輸入主量子數 n₂（≥1，激發態 2、3...）。
- 系統計算兩能階、躍遷能量與光子波長。
氫原子能階與常見躍遷（E_n=-13.6/n² eV）
| n | E_n (eV) | 躍遷 | ΔE (eV) | λ (nm) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | -13.60 | Lyman α (2→1) | 10.20 | 121.6 |
| 2 | -3.40 | Lyman β (3→1) | 12.09 | 102.6 |
| 3 | -1.51 | Balmer α (3→2) | 1.89 | 656.3 |
| 4 | -0.85 | Balmer β (4→2) | 2.55 | 486.1 |
| ∞ | 0 | Paschen α (4→3) | 0.66 | 1875.1 |
n 越大能階越接近 0（游離極限）。Balmer 系列在可見光區，為天文觀測氫的重要譜線。
理財情境案例
恆星光譜氫線
恆星大氣氫原子吸收對應波長光子產生吸收譜線，為光譜分類（OBAFGKM）關鍵。
Balmer α (Hα, 656.3 nm) 紅色，太陽譜線顯著；Hβ 486 nm 藍綠。香港太空館望遠鏡可觀測。
譜線強度依恆星溫度：O 型星 30000K 氫電離顯示弱；A 型星 10000K Balmer 最強；M 型星 3000K 氫多在基態 Balmer 弱。
氫原子雷射與受激輻射
微波激射器（maser, 1954 Townes）利用氨分子躍遷；氫原子微波激射器頻率 1.42 GHz（21 cm 線，超精細結構）。
21 cm 線為星際介質氫觀測關鍵，揭露銀河系旋臂結構。香港無射電望遠鏡但可接收公開數據。
雷射（light amplification）原理與受激輻射相同：高能階電子受光子觸發躍遷，產生相干光。氫本身雷射少見（多為氦氖、半導體）。
常見問題
為什麼能階是負值？
負值表示束縛態：電子被質子吸引，能量低於自由電子（取自由電子能量為 0 參考）。n→∞ 時 E→0（游離），n=1 時 E=-13.6 eV（最低，最束縛）。要游離基態電子需供給 13.6 eV（游離能）。
Bohr 模型與量子力學有何不同？
Bohr 假設電子做圓周軌道、角動量量子化。Schrödinger 量子力學以波函數描述，電子無確定軌道而是機率雲。但能階計算結果相同（庫倫位於氫原子精確解），軌道半徑改為機率最大值。Bohr 為半經典過渡，量子力學為更基本理論。對氫能階預測兩者等價。
Balmer 系列為何重要？
Balmer 系列（n₁=2 躍遷）位於可見光波長（365-656 nm），1885 Balmer 由實驗找到 1/λ=R(1/4-1/n²) 經驗式。是歷史上第一個被發現的譜線系列，啟發 Bohr 1913 提出量子化模型。恆星觀測中 Balmer 線強度為光譜分類關鍵。
什麼是游離極限？
n→∞ 時 E_n→0，電子完全脫離質子束縛。游離能 13.6 eV 即從基態 n=1 到 n=∞ 的能量差。氫原子若吸收 ≥13.6 eV 光子則游離（光電效應於原子）。萊曼極限波長 λ=hc/13.6eV=91.2 nm（紫外），星際介質氫吸收此波長以下輻射。
Rydberg 常數如何測定？
R=1.097373e7 m⁻¹ 由氫譜線波長精確測量推得。理論值 R_∞=m_e·e⁴/(8ε₀²h³c)=1.097373e7。對氫原子核質量修正後 R_H=1.096776e7（折合質量）。Rydberg 1888 整理多種元素譜線發現規律，故得名。現代精確至 1e12 分之一。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。E_n=-13.6/n² eV。Bohr 1913、Schrödinger 嚴格化。Lyman（n₁=1）紫外、Balmer（n₁=2）可見光、Paschen（n₁=3）紅外。Rydberg R=1.097e7 m⁻¹。游離能 13.6 eV。