盒中粒子計算器
輸入質量、盒長與量子數，計算盒中粒子能階、基態與躍遷能量。電子 L=1 Å → E₁≈37.6 eV。
輸入資料
計算結果
重點速覽：盒中粒子（particle in a box, infinite square well, Schrödinger 1926）：粒子在長度 L 的一維盒內自由運動，邊界 x=0、x=L 處位能無限大（無法逃出）。Schrödinger 方程 -ℏ²/(2m)·d²ψ/dx²=Eψ 邊界 ψ(0)=ψ(L)=0，解 ψ_n=√(2/L)·sin(nπx/L)，能量本徵值 E_n=n²h²/(8mL²)，n=1,2,3...。特性：(1) 能量量子化 ∝n²（與諧振子等距不同）；(2) 基態 n=1 能量非零（零點能對應電子不能靜止，否則違反測不準）；(3) n→∞ 時機率分佈均勻（對應原理，趨經典）；(4) 高階能階距離 ΔE_n→n+1=(2n+1)·E₁ 越來越大（非等距）。應用：(1) 共軛分子（如丁二烯 π 電子近似盒中粒子）；(2) 量子點發光波長調控（量子限制效應）；(3) 奈米線電子結構；(4) 量子力學入門教學；(5) 半導體量子井。
計算公式
能階：E_n = n²·h² / (8mL²)
基態：E₁ = h² / (8mL²)
躍遷：ΔE(n→n+1) = E_{n+1} − E_n = (2n+1)·E₁
波函數：ψ_n = √(2/L)·sin(nπx/L)
節點數：n − 1
$$E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}, \quad E_1 = \frac{h^2}{8mL^2}, \quad \Delta E_{n \to n+1} = (2n+1)E_1, \quad \psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L}$$使用說明
- 輸入質量 m（kg，電子 9.11e-31）。
- 輸入盒長 L（m，原子尺度 1e-10）。
- 輸入量子數 n（≥1，基態 1）。
- 系統計算能階 E_n、基態 E₁與躍遷 ΔE。
電子 L=1 Å 各階能量（h=6.626e-34, m=9.11e-31）
| n | 倍數 | E_n (eV) |
|---|---|---|
| 1 | 1× | 37.6 |
| 2 | 4× | 150.4 |
| 3 | 9× | 338.4 |
| 4 | 16× | 601.6 |
| 5 | 25× | 940.0 |
E_n∝n²。能階距離越來越大，與諧振子等距不同。L 越大能階越密集趨經典連續。
理財情境案例
共軛分子電子吸收
β-胡蘿蔔素等共軛多烯的 π 電子可近似為盒中粒子，盒長為分子鏈長。
共軛鏈越長 → L 大 → 能階越密 → 躍遷能量越小 → 吸收波長越長（紅移）。β-胡蘿蔔素吸收 450 nm（藍）故顯橙色。
Free electron model（Kuhn 1948）以盒中粒子預測共軛分子光譜，香港中學化學講授共軛體系時常用此模型。
量子點發光調控
量子點（半徑 2-10 nm 半導體奈米晶）中電子被限制在三維盒內，能階隨尺寸變化（量子限制效應）。
尺寸越小 → 能階越寬 → 發光波長越短（藍移）。調控尺寸即可發出紅到藍各色光。
香港科技大學、中大研究奈米材料。量子點顯示器（QLED）已商用，高色域優於傳統 LCD。生物影像、太陽電池亦有應用。
常見問題
為什麼基態能量非零？
若 E=0 則動能為零，動量為零，位置已知（在盒內），違反海森堡 Δx·Δp≥ℏ/2。最低能階必有動量不確定性，故 E₁=h²/(8mL²)≠0。這是零點能，與諧振子 ½ℏω 同理。宏觀物體 E₁ 極小（質量 1g、L=1m → E₁~1e-67 J）不可測，故經典認為可靜止。
盒中粒子與諧振子能階有何不同？
盒中粒子 E_n∝n²（非等距，階距遞增）；諧振子 E_n=(n+½)ℏω（等距階梯 ΔE=ℏω）。差異源自位能形狀：盒內 V=0（粒子在盒壁硬反射），諧振子 V=½mω²x²（連續回復力）。分子振動近似諧振子，自由電子近似盒中粒子，視邊界條件而定。
邊界位能無限大有什麼含意？
無限大位能壁表示電子從外面進入需無限大能量（不可能），波函數在邊界必為零（節點）。此為理想化模型，實際有限位能壁（finite well）電子可穿透（隧道效應），波函數在邊界外呈指數衰減。有限盒能階略低於無限盒，但定性特徵相同。半導體異質結量子井近似有限盒。
三維盒中粒子如何推廣？
三維立方盒邊長 L，波函數 ψ_nx,ny,nz=8/L³·sin(nxπx/L)·sin(nyπy/L)·sin(nzπz/L)，能量 E=(nx²+ny²+nz²)·h²/(8mL²)。能階簡併：(2,1,1)=(1,2,1)=(1,1,2) 同能量三重簡併。三維盒為量子點模型，加電磁場可破簡併。立方盒能階密度與固體能帶相關。
為什麼 n 從 1 開始不是 0？
n=0 時 ψ=√(2/L)·sin(0)=0 全盒波函數為零，無粒子（歸一化失敗）。故物理上不允許 n=0。諧振子 n=0 允許（ψ 為高斯，非零），故零階存在。差異源於邊界條件：盒波函數必須在邊界為零（節點），n=0 無法滿足。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。E_n=n²h²/(8mL²)。Schrödinger 1926。n 從 1 起步（n=0 波函數為零）。基態 E₁≠0 零點能。諧振子等距、盒中粒子 n² 非等距。量子點、共軛分子應用。