拋體運動計算器
輸入初速與發射角，計算射程、最大高度與飛行時間。v=20, θ=45°, g=9.81 → R≈40.8m, H≈10.2m。
輸入資料
計算結果
重點速覽：拋體運動：物體在均勻重力場中以初速度 v₀、仰角 θ 拋出後的運動。忽略空氣阻力時，水平方向勻速運動（vₓ=v₀cosθ）、垂直方向勻變速運動（v_y=v₀sinθ-gt），軌跡為拋物線。關鍵公式：(1) 射程 R=v₀²sin(2θ)/g（θ=45° 時最大）；(2) 最大高度 H=v₀²sin²θ/(2g)；(3) 飛行時間 T=2v₀sinθ/g；(4) 軌跡 y=x·tanθ - gx²/(2v₀²cos²θ)。歷史：Galileo Galilei 1638《兩種新科學的對話》首次系統研究拋體運動，證明拋物線軌跡。牛頓力學提供完整微積分推導。應用：(1) 彈道學（火炮、導彈）；(2) 體育（投擲、跳遠、高爾夫）；(3) 煙花、水柱設計；(4) 遊戲物理引擎；(5) 水火箭、投石機。
計算公式
射程：R = v₀²·sin(2θ) / g
最大高度：H = v₀²·sin²(θ) / (2g)
飛行時間：T = 2·v₀·sin(θ) / g
水平速度：vₓ = v₀·cos(θ)
垂直速度：v_y = v₀·sin(θ)
$$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}, \quad H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}, \quad T = \frac{2v_0 \sin\theta}{g}$$使用說明
- 輸入初速 v₀（m/s，20）。
- 輸入發射角 θ（°，45）。
- 輸入重力 g（m/s²，9.81）。
- 系統計算射程、最大高度、飛行時間及速度分量。
v₀=20m/s 各角度結果（g=9.81）
| θ (°) | R (m) | H (m) | T (s) |
|---|---|---|---|
| 15 | 10.2 | 1.34 | 1.05 |
| 30 | 35.3 | 5.10 | 2.04 |
| 45 | 40.8 | 10.2 | 2.89 |
| 60 | 35.3 | 15.3 | 3.53 |
| 75 | 10.2 | 19.0 | 3.95 |
θ=45° 射程最大。θ 與 (90°-θ) 射程相同（互補角）。角度越大高度越高但射程越短。
理財情境案例
體育投擲與高爾夫
高爾夫開球初速 75 m/s、仰角 11° 可飛行 260 碼（238 m）。但因空氣阻力（非真空），最佳仰角低於 45°（約 35-40°）。
棒球投手最快 100 mph（45 m/s）。外野手傳球本壘仰角約 30°，射程 90 m。鐵餅、標槍最佳仰角 35-44°（受空氣動力學影響）。
香港體育學院運動力學分析。跳遠起跳角 20-25°（非 45°），因人體質心在起跳點高於落地點。鉛球最佳 37-41°。
煙花與水火箭
煙花彈初速 30-50 m/s、仰角 75-85°，飛行 3-5 秒，高度 30-80 m。維多利港跨年煙花匯演 2024 年施放 31888 枚煙花，彈道計算確保安全距離。
水火箭（PET 瓪+壓縮空氣+水）初速 20-40 m/s，仰角 45° 射程 50-100 m。香港中小學 STEM 活動常用，教學拋體運動。
軍事彈道：155mm 榴彈炮初速 827 m/s、最大射程 30 km（仰角 45°）。但實際因空氣阻力最佳仰角約 43°，且需風偏修正。彈道計算機即時計算。
常見問題
為什麼 45° 射程最大？
射程 R=v₀²sin(2θ)/g。sin(2θ) 在 2θ=90°（θ=45°）時最大值為 1。此為真空理想情況。有空氣阻力時最佳仰角低於 45°（通常 35-42°），因為高空氣阻力隨速度平方增大，低仰角減少飛行時間和阻力損失。高爾夫球最佳仰角約 37°，炮彈約 43°。
互補角原理是什麼？
sin(2θ)=sin(180°-2θ)=sin(2(90°-θ))。故 θ 與 (90°-θ) 射程相同。例如 30° 和 60° 射程均為 v₀²sin(60°)/g。但高度不同——60° 更高、飛行時間更長。互補角原理僅在真空中成立，有空氣阻力時大角度射程更短（阻力損失大）。
空氣阻力如何影響彈道？
空氣阻力 F_drag=½ρCdAv² 與速度平方正比，使軌跡偏離拋物線——後半段下落更快（減速），射程比真空值短 30-60%。終端速度使下落速度有上限。子彈水平射程 100m 真空計算 500m 但實際僅 100m。長距離射擊需彈道補償（仰角抬高+風偏修正）。空氣密度隨海拔降低，高空彈道受阻力小。
月球上射程會更遠嗎？
月球 g=1.62 m/s²（地球的 1/6）。射程 R=v₀²sin(2θ)/g_月球=6R_地球。同 v₀=20、θ=45° 時月球射程 245m（地球 40.8m）。阿波羅宇航員高爾夫球在月球飛行數百米。月球無空氣故無阻力，拋物線軌跡精確。但人類肌肉力量穿太空服後減弱，初速降低。
柯里奧利力如何影響遠程射擊？
地球自轉產生柯里奧利效應，使北半球彈道向右偏、南半球向左偏。偏移量與射程、緯度正比。1 km 射程在 45° 緯度偏移約 5-10 cm，狙擊手需修正。一戰福克蘭海戰英國炮手以北半球修正表在南半球射擊，偏移數百米。香港 22°N 偏移較小。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。R=v²sin(2θ)/g。Galileo 1638。45° 最大射程。互補角原理。體育、煙花、彈道學應用。