軌道能量計算器
輸入主星質量與軌道半徑，計算軌道速度、週期與比軌道能量。地球 M=1.989e30, r=1.496e11 → v≈29.79 km/s、T≈1 年。
輸入資料
計算結果
重點速覽：軌道能量（Orbital energy）：天體在引力場中的動能與位能總和。對圓軌道，動能 K=½mv²=½GMm/r，位能 U=-GMm/r，總能量 E=K+U=-GMm/(2r)（負值表示束縛軌道）。比軌道能量 ε=E/m=-GM/(2r)（單位質量能量）。軌道速度 v=√(GM/r)，週期 T=2π√(r³/GM)（克卜勒第三定律 1619）。逃逸速度 v_esc=√(2GM/r)=√2·v（第二宇宙速度）。歷史：牛頓 1687 在《自然哲學的數學原理》推導萬有引力與圓軌道；克卜勒 1609-1619 從觀測歸納三大定律；霍曼 1925 推導橢圓轉移軌道。經典例：地球繞日 M=1.989e30 kg、r=1.496e11 m → v=29.79 km/s、T=1 年、ε=-4.435×10⁸ J/kg；近地軌道 r=6.7e6 m → v=7.71 km/s、T=90 分鐘；同步軌道 r=42164 km → T=23.93 小時（恆星日）；逃逸速度 v_esc=11.2 km/s。應用：(1) 人造衛星——通訊、氣象、GPS；(2) 太空探測——霍曼轉移、引力彈弓；(3) 行星運動——克卜勒定律預測軌道；(4) 雙星系統——質量函數推算；(5) 星系動力學——暗物質證據。
計算公式
軌道速度：v = √(G·M / r)
軌道週期：T = 2π·√(r³ / (G·M))（克卜勒第三定律）
比軌道能量：ε = -G·M / (2·r)
逃逸速度：v_esc = √(2·G·M / r) = √2·v
萬有引力常數：G = 6.67430×10⁻¹¹ m³/(kg·s²)
$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}, \quad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}, \quad \varepsilon = -\frac{GM}{2r}, \quad v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{2} v$$使用說明
- 輸入主星質量 M（kg，地球 5.972e24）。
- 輸入軌道半徑 r（m，低軌 6.7e6）。
- 系統計算 v=√(GM/r)、T=2π√(r³/GM)、ε=-GM/(2r)、v_esc=√2·v。
常見軌道參數（地球 M=5.972e24 kg）
| 軌道 | r (m) | v (km/s) | T | v_esc (km/s) |
|---|---|---|---|---|
| 國際太空站 | 6.778e6 | 7.66 | 92.7 min | 10.84 |
| 低軌 LEO | 6.7e6 | 7.71 | 90.5 min | 10.91 |
| 中軌 MEO | 2.66e7 | 3.87 | 11.8 h | 5.47 |
| 同步 GEO | 4.2164e7 | 3.07 | 23.93 h | 4.34 |
| 月球 | 3.844e8 | 1.022 | 27.3 d | 1.44 |
| 地球繞日 | 1.496e11 | 29.79 | 365.25 d | 42.12 |
v=√(GM/r)、T=2π√(r³/GM)。同步軌道週期為恆星日 86164s（非太陽日 86400s）。地球繞日 ε=-4.435×10⁸ J/kg。
理財情境案例
霍曼轉移軌道
從 LEO（r1=6700 km）轉移至 GEO（r2=42164 km）：霍曼橢圓半長軸 a=(r1+r2)/2=24432 km。
轉移軌道速度：近日點 v_p=√(GM(2/r1-1/a))=10.13 km/s、遠日點 v_a=√(GM(2/r2-1/a))=1.61 km/s。
需 Δv1=v_p-v_LEO=10.13-7.71=2.42 km/s、Δv2=v_GEO-v_a=3.07-1.61=1.46 km/s，總 Δv=3.88 km/s。轉移時間 T/2=π√(a³/GM)=5.26 小時。最省燃料的雙衝量轉移（霍曼 1925 推導）。
旅行者號引力彈弓
旅行者 1 號（1977 發射）利用木星引力彈弓加速：飛過木星後速度從 14 km/s 增至 23 km/s，無需燃料。
引力彈弓：飛行器相對行星接近速度 v_inf、遠離速度相同但方向改變。在太陽參考系中行星速度 V_P 疊加使總速度增加：v_out² = v_in² + 2v_inf·V_P·(cosθ_out - cosθ_in)。
理論最大加速 2V_P（行星速度 2 倍）。木星 V_P=13 km/s、土星 9.7、海王星 5.4。旅行者 1 號現已離開太陽系（2012 進入星際空間），速度 17 km/s。
常見問題
為什麼軌道能量為負？
束縛軌道（圓/橢圓）總能量 E=K+U=-GMm/(2r) 為負，表示動能不足以逃逸。逃逸軌道（拋物線）E=0，動能剛好克服位能。雙曲線軌道 E>0，多餘動能使其永不返回。能量為負對應 U<0 且 |U|>K（位能井深度大於動能）。
克卜勒第三定律如何推導？
圓軌道：向心力=萬有引力 mv²/r=GMm/r²，得 v=√(GM/r)。週期 T=2πr/v=2π√(r³/GM)。故 T²=4π²/(GM)·r³，即 T²∝r³（克卜勒第三定律）。牛頓 1687 推導，克卜勒 1619 從觀測歸納。對橢圓軌道用半長軸 a 替換 r。
什麼是逃逸速度？
逃逸速度 v_esc=√(2GM/r) 為物體永離主星所需最小初速度。此時總能量 E=0（動能等於位能絕對值）。地球表面逃逸 11.2 km/s、月球 2.4、火星 5.0、木星 59.5、太陽表面 617.5。地球繞日軌道處逃逸太陽 42.1 km/s（再加地球公轉 29.8 得僅 12.3 km/s）。
為什麼同步軌道週期是 23.93 小時而非 24 小時？
同步軌道衛星需相對恆星（非太陽）固定，地球相對恆星自轉週期為恆星日 86164 秒（23h 56min），非太陽日 86400 秒。差異來自地球繞日公轉使太陽相對恆星東移 1°/天，太陽日比恆星日長 4 分鐘。故同步軌道週期 86164s、半徑 42164 km。
比能量在軌道力學中如何用？
比能量 ε 是軌道根數之一，確定軌道形狀：ε<0 橢圓（含圓）、ε=0 拋物線、ε>0 雙曲線。與半長軸關係 ε=-GM/(2a)。另一關鍵量為比角動量 h=√(GMa(1-e²))（e 為偏心率）。太空導航中由位置速度計算 ε、h 推斷軌道類型，用於霍曼轉移、引力輔助設計。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。ε=-GM/(2r)、v=√(GM/r)、T=2π√(r³/GM)、v_esc=√(2GM/r)=√2·v。G=6.67430e-11。地球繞日 v=29.79 km/s、ε=-4.435e8 J/kg。同步軌道週期 86164s。逃逸速度 11.2 km/s。