引力勢能計算器
輸入兩物體質量與距離，求引力勢能與萬有引力。地球-太陽 U≈-5.34e33 J。
輸入資料
計算結果
重點速覽：引力勢能 U=-GMm/r 是兩質點間萬有引力的勢能，G=6.674×10⁻¹¹ N·m²/kg²。負值表示束縛態（分離需作正功）。力 F=GMm/r²（牛頓萬有引力定律）。性質：(1) 勢能零點取無窮遠（r→∞ 時 U→0）；(2) U<0 表示束縛（衛星、行星軌道）；(3) 逃逸速度 v=√(2GM/r)（動能=|U| 時逃逸）。應用：(1) 軌道力學（衛星、行星）；(2) 航天（逃逸速度、霍曼轉移）；(3) 潮汐（月球-海洋引力）；(4) 天體形成（引力坍縮）；(5) 重力束縛系統（星系、星團）。
計算公式
引力勢能：U = -G·m₁·m₂ / r
萬有引力：F = G·m₁·m₂ / r²
逃逸速度：v = √(2GM/r) = √(2|U|/m)
軌道速度：v = √(GM/r)
$$U = -\frac{G m_1 m_2}{r}, \quad F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}, \quad G = 6.674 \times 10^{-11}\,\text{N·m}^2/\text{kg}^2$$使用說明
- 輸入質量 m₁（kg）。
- 輸入質量 m₂（kg）。
- 輸入質心距離 r（m）。
- 系統求引力勢能 U 與萬有引力 F。
天體引力勢能示例
| 系統 | m₁ (kg) | m₂ (kg) | r (m) | U (J) | F (N) |
|---|---|---|---|---|---|
| 地-月 | 5.97e24 | 7.34e22 | 3.84e8 | -7.6e28 | 1.98e20 |
| 地-太陽 | 5.97e24 | 1.99e30 | 1.50e11 | -5.3e33 | 3.54e22 |
| 地-人(70kg) | 5.97e24 | 70 | 6.37e6 | -4.37e9 | 686 |
| 太陽-木星 | 1.99e30 | 1.90e27 | 7.78e11 | -3.25e35 | 4.17e23 |
| 人(70)-人(70) | 70 | 70 | 1 | -3.27e-7 | 3.27e-7 |
G=6.674×10⁻¹¹。勢能為負（束縛）。距離越大勢能越接近0。
理財情境案例
衛星軌道與逃逸速度
地球同步軌道：r=4.216e7m、v=√(GM/r)=3.07km/s。通訊衛星 24h 週期。
逃逸速度：v=√(2GM/r)。地表 v=11.2km/s。月球逃逸 2.38km/s。探測器需達逃逸速度離開地球。
霍曼轉移：地球到火星橢圓軌道、利用太陽引力。Δv 最小、節省燃料。航天任務規劃。
潮汐與天體形成
潮汐：月球引力差造成海洋隆起。F=GMm/r²、近月側力大。太陽潮汐約月球一半。朔望大潮、上下弦小潮。
潮汐力撕裂：Roche 極限。衛星過近被潮汐力撕碎形成環。土星環可能為被撕碎衛星。
引力坍縮：星雲引力收縮、U 轉動能、溫度升高 → 核融合點火 → 恆星誕生。引力是恆星能源頭。
常見問題
為什麼引力勢能是負值？
勢能零點取無窮遠（r→∞ 時 U=0）。兩質點距離有限時引力作正功拉近、故勢能低於無窮遠（負值）。U<0 表示束縛態、需作正功分離至無窮。類似化學鍵、負值表穩定。
逃逸速度怎麼推導？
能量守恆：初始 ½mv²+U(r)=0（無窮遠動能勢能皆0）。v=√(-2U/m)=√(2GM/r)。地表 v=√(2·6.674e-11·5.97e24/6.37e6)=11.2km/s。需此速度才能離開地球引力。
G 的數值和單位？
G=6.674×10⁻¹¹ N·m²/kg² = m³/(kg·s²)。萬有引力常數、卡文迪許 1798 年測定。極小值表示引力很弱、宏觀天體間才顯著。人與人 1m 距離引力約 10⁻⁷ N、幾乎測不到。
為什麼用 r²（質心距離）？
球體外引力等效於質量集中於質心（殼定理）。故天體間用質心距離 r。地日用 1.496e11m（平均）。橢圓軌道用瞬時距離。近圓軌道近似。
牛頓引力何時失效？
牛頓引力適用弱場、低速。強引力場（黑洞附近）需廣義相對論。高速需狹義相對論。水星近日點進動牛頓無法解釋、愛因斯坦修正。光在太陽旁彎曲也是廣義相對論效應。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。引力勢能 U=-GMm/r。萬有引力 F=GMm/r²。軌道、潮汐應用。