高斯定律計算器
輸入封閉曲面內淨電荷與距離，計算電通量 Φ=Q/ε₀ 與電場強度 E=Q/(4πε₀r²)。
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計算結果
重點速覽：高斯定律（Gauss's law for electricity）：通過任意封閉曲面的電通量等於曲面內淨電荷 Q_enc 除以真空介電常數 ε₀，即 Φ=Q_enc/ε₀。麥克斯韋方程組四條之一（電場版本）。其中 ε₀≈8.854×10⁻¹² F/m 為真空介電常數。對球對稱電荷分布（點電荷、均勻帶電球），由對稱性可由高斯定律匯出電場 E=Q/(4πε₀r²)，其中 r 為到電荷中心的距離。電通量單位 N·m²/C = V·m。經典數值：Q=1 μC → Φ≈1.129×10⁵ N·m²/C；Q=1 C 在 r=1 m 處 E≈8.99×10⁹ V/m（庫侖定律 k=1/(4πε₀)≈8.99×10⁹）。應用：(1) 計算對稱電荷分布的電場（球、線、面對稱），避免複雜積分；(2) 電容器設計 C=ε₀A/d（平行板電容）；(3) 法拉第籠靜電屏蔽——內部電場為零（淨電荷分布於外表面）；(4) 電磁學理論基礎，與高斯磁定律、法拉第電磁感應、安培-麥克斯韋定律共同構成麥克斯韋方程組；(5) 電場數值計算（有限元素分析）；(6) 大氣電場測量（地球表面電場約 100 V/m，對應大氣約 5×10⁵ C/m³ 電荷密度）。歷史：高斯定律由 Carl Friedrich Gauss 於 1835 年提出，後被麥克斯韋 1865 年納入電磁場方程組。注意：高斯定律對任意封閉曲面成立，但僅在對稱情況下可解析求 E；非對稱情況需積分或數值計算。
計算公式
高斯定律：Φ = Q_enc / ε₀
點電荷電場：E = Q / (4πε₀r²)
庫侖常數：k = 1 / (4πε₀) ≈ 8.99×10⁹ N·m²/C²
真空介電常數：ε₀ ≈ 8.854×10⁻¹² F/m
$$\Phi = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$$$$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$使用說明
- 輸入封閉曲面內淨電荷 Q（C）與距離 r（m，選填）。
- 系統計算電通量 Φ=Q/ε₀；若 r>0 並計算點電荷電場 E=Q/(4πε₀r²)。
- Q 可為負（負電荷產生指向內的電場）。
不同電荷量在 r=1 m 處的電通量與電場
| 電荷 Q (C) | 電通量 Φ (N·m²/C) | 電場 E (V/m) |
|---|---|---|
| 1e-12（皮庫） | 0.113 | 8.99 |
| 1e-9（奈庫） | 112.9 | 8987 |
| 1e-6（微庫） | 1.129e5 | 8.99e6 |
| 1e-3（毫庫） | 1.129e8 | 8.99e9 |
| 1（庫侖） | 1.129e11 | 8.99e12 |
| 1.602e-19（電子） | 1.81e-8 | 1.44e-9 |
電通量與電荷成正比；電場在固定距離處亦與 Q 成正比、與 r² 成反比。
理財情境案例
雷電雲電荷測量
雷電雲下方地面測得電場約 E=10000 V/m，距離雲底 r=1 km。
由 E=Q/(4πε₀r²) 反推 Q=E×4πε₀r²=10000×1.11e-10×10⁶≈1110 C。
對應電通量 Φ=Q/ε₀≈1.25×10¹⁴ N·m²/C，遠大於日常靜電。
平行板電容器
平行板電容器電場 E=σ/ε₀（σ 為面電荷密度，C/m²）。
若極板面電荷密度 σ=1 μC/m² → E=1e-6/8.854e-12≈1.13×10⁵ V/m。
極板間距 1 mm 時電壓 V=Ed≈113 V；電容 C=ε₀A/d。
常見問題
高斯定律和庫侖定律有什麼關係？
庫侖定律 F=kQ₁Q₂/r² 描述點電荷間的作用力；高斯定律 Φ=Q/ε₀ 是更普遍的形式。由高斯定律和球對稱性可推導出庫侖定律（E=Q/(4πε₀r²) → F=qE=kQq/r²）。高斯定律更普適——對任意電荷分布與任意封閉曲面成立，是麥克斯韋方程組之一。
為什麼電通量與曲面形狀無關？
電通量 Φ=∫E·dA 對任意包圍 Q 的封閉曲面都等於 Q/ε₀。這是因為電場按 1/r² 衰減，而曲面面積按 r² 增長，兩者抵消。形狀變化只改變局部 E 與 dA 的關係，但總通量不變。這稱為「高斯定律的形狀不變性」。
如何用高斯定律求對稱電荷分布的電場？
對球對稱（點電荷、均勻帶電球）：選球面高斯面 → E×4πr²=Q/ε₀ → E=Q/(4πε₀r²)。對柱對稱（無限長帶電線）：選圓柱面 → E×2πrL=λL/ε₀ → E=λ/(2πε₀r)。對面對稱（無限大帶電板）：選 pillbox → E×2A=σA/ε₀ → E=σ/(2ε₀)。關鍵是利用對稱性讓 E 在高斯面上為常數。
為什麼法拉第籃能屏蔽電場？
導體內部電場為零（靜電平衡）。由高斯定律：在導體內部任取封閉曲面，內部無淨電荷（自由電荷已分布到表面），故 Φ=0 → E=0。即使外部有強電場，導體內部仍為零，這就是法拉第籃的原理。應用：防雷電纜、電子設備屏蔽、汽車避雷。
ε₀（真空介電常數）是怎麼測量的？
ε₀ 由光速 c 與真空磁導率 μ₀ 推得：c²=1/(μ₀ε₀)、μ₀=4π×10⁻⁷ N/A²（定義）→ ε₀=1/(μ₀c²)≈8.854×10⁻¹² F/m。實驗上可由平行板電容器 C=ε₀A/d 測量 C、A、d 反推 ε₀。麥克斯韋 1865 年發現電磁波傳播速度 1/√(μ₀ε₀) 等於光速，揭示光是電磁波。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。Φ=Q/ε₀、E=Q/(4πε₀r²)；ε₀≈8.854e-12 F/m；k=1/(4πε₀)≈8.99e9 N·m²/C²。