傅立葉數計算器
輸入熱擴散率 α、時間 t 與特徵長度 L，依 Fo = α·t/L² 算出傅立葉數，衡量暫態熱傳導的無因次時間。
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計算結果
重點速覽：傅立葉數（Fourier number，符號 Fo）是暫態（非穩態）熱傳導中的無因次時間，定義為『熱擴散速率』與『熱能儲存速率』之比，或理解為熱量已擴散穿透的無因次深度：Fo = α·t/L²，其中 Fo 是傅立葉數（無因次）、α 是熱擴散率（m²/s，α=k/(ρcp)）、t 是時間（s）、L 是特徵長度（m）。逐項理解：分子 α·t 代表在時間 t 內熱量擴散能達到的『面積』（擴散長度平方 ~ α·t）；分母 L² 是物體特徵尺度的平方。兩者相比：Fo 小（t 小或 L 大）表示熱擾動剛開始、只影響表層、物體內部尚未感受到溫度變化；Fo 大表示熱量已充分擴散、內部溫度顯著響應。舉例，鋼件 α=1.2×10⁻⁵ m²/s、加熱 t=100 s、半厚 L=0.05 m：Fo = 1.2e-5×100/0.05² = 0.48。經驗上 Fo>0.2 時暫態溫度分佈可用『單項近似』（Heisler 圖對應的一階級數）描述，計算大為簡化。傅立葉數常與畢奧數 Bi 搭配：Bi 描述表面對流與內部傳導之比，Fo 描述無因次時間，Heisler 圖以 Bi 為參數、以 Fo 為橫軸讀取中心溫度。用途：其一，估算物體加熱／冷卻到某溫度所需時間；其二，暫態溫度分佈與 Heisler 圖查算；其三，食品冷卻／殺菌、材料熱處理的時間設計；其四，判斷是否達到準穩態（Fo≫1）。使用傅立葉數與本工具要注意幾點：一是 L 的取法——平板取半厚、長柱／球取半徑，須與所用圖表一致；二是 α 依材料而定（α=k/(ρcp)）；三是 Fo<0.2 時單項近似不準，須用多項級數或半無限體解；四是各參數單位須為 SI。總之，傅立葉數由 Fo=α·t/L² 求得，是暫態熱傳導無因次時間與冷卻加熱時間估算的核心無因次數。
計算公式
傅立葉數：Fo = α·t / L²。
α 熱擴散率(m²/s)、t 時間(s)、L 特徵長度(m)；Fo 無因次。
α=k/(ρcp)；Fo>0.2 可用單項近似（Heisler 圖）。
$$\mathrm{Fo} = \dfrac{\alpha\,t}{L^2}$$使用說明
- 填入熱擴散率 α（鋼約 1.2×10⁻⁵、水約 1.4×10⁻⁷）。
- 填入時間 t 與特徵長度 L（平板取半厚、球取半徑）。
- 系統依 Fo = α·t/L² 算出傅立葉數；Fo>0.2 表示暫態已進入單項近似階段。
鋼 α=1.2e-5、半厚 L=0.05 m 時不同時間的傅立葉數
| 時間 t (s) | 特徵長度 L (m) | 傅立葉數 Fo | 階段 |
|---|---|---|---|
| 10 | 0.05 | 0.048 | 初期(表層) |
| 50 | 0.05 | 0.24 | 進入單項近似 |
| 100 | 0.05 | 0.48 | 基準 |
| 100 | 0.1 | 0.12 | 尺度加倍 |
| 500 | 0.05 | 2.4 | 趨近穩態 |
傅立葉數與時間成正比、與特徵長度平方成反比。t 由 10 增到 500 s，Fo 由 0.048 升到 2.4；L 由 0.05 加倍到 0.1 m，Fo 反而降為 1/4——尺度對暫態時間影響極大。
理財情境案例
食品冷卻時間估算
香港食品廠將半厚 L=0.05 m 的肉塊冷卻，肉熱擴散率 α≈1.3×10⁻⁷ m²/s。
欲達 Fo=0.2（單項近似起點）：t = Fo·L²/α = 0.2×0.0025/1.3e-7 ≈ 3846 s ≈ 64 分鐘。
說明厚肉冷卻需超過一小時內部才明顯降溫，是冷藏與食品安全的時間依據。
鋼件熱處理的無因次時間
鋼件半厚 L=0.05 m、α=1.2×10⁻⁵ m²/s，加熱 100 s。
Fo = 1.2e-5×100/0.05² = 0.48 > 0.2，可用單項近似讀 Heisler 圖求中心溫度。
若把厚度加倍（L=0.1 m），同樣 100 s 只得 Fo=0.12<0.2，須用多項級數，凸顯尺度影響。
常見問題
傅立葉數是什麼？
傅立葉數 Fo=α·t/L² 是暫態熱傳導的無因次時間，衡量熱量已擴散穿透物體的程度。Fo 小表示剛開始、只影響表層，Fo 大表示內部已顯著響應。
為什麼 Fo>0.2 很重要？
當 Fo>0.2 時，暫態溫度分佈的無窮級數可只保留第一項（單項近似），對應 Heisler 圖，計算大為簡化。Fo<0.2 則須用多項級數或半無限體解。
特徵長度 L 怎麼取？
平板取半厚（對稱受熱）、長圓柱與球取半徑。務必與所用 Heisler 圖或關聯式的定義一致，否則結果會差數倍。
傅立葉數和畢奧數怎麼配合？
畢奧數 Bi 描述表面對流與內部傳導之比、傅立葉數 Fo 描述無因次時間。Heisler 圖以 Bi 為參數、Fo 為橫軸讀取中心無因次溫度，兩者共同決定暫態溫度。
怎麼用傅立葉數估冷卻時間？
由所需 Fo 反算時間 t=Fo·L²/α。例如要達單項近似起點 Fo=0.2，時間就是 0.2·L²/α，特徵長度平方與熱擴散率決定了冷卻或加熱所需的時間。