法拉第電磁感應計算器
輸入線圈匝數與磁通量變化率，計算法拉第電磁感應電動勢 ε=N·dΦ/dt 與旋轉線圈峰值電動勢 N·B·A·ω。
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計算結果
重點速覽：法拉第電磁感應定律（Faraday's law of induction）：穿過線圈的磁通量 Φ 隨時間變化時，線圈中產生感應電動勢 ε=−N·dΦ/dt，其中 N 為匝數、dΦ/dt 為磁通量變化率。負號來自冷次定律（Lenz's law）：感應電流方向使其產生的磁場反抗磁通量的變化，這是能量守恆的必然結果。磁通量 Φ=B·A·cosθ，可透過改變磁場 B、線圈面積 A 或磁場與線圈法線夾角 θ 來產生變化。旋轉線圈發電機原理：線圈在均勻磁場中以角速度 ω 旋轉，Φ(t)=N·B·A·cos(ωt)，感應電動勢 ε(t)=N·B·A·ω·sin(ωt)，峰值 ε_peak=N·B·A·ω，為正弦交流電——這是商用發電機的基礎。頻率 f=ω/(2π)，週期 T=2π/ω。經典範例：N=100 匝、dΦ/dt=0.01 Wb/s，ε=100×0.01=1 V；若 B=0.5 T、A=0.01 m²、ω=60 rad/s（f≈9.55 Hz），ε_peak=100×0.5×0.01×60=30 V。法拉第 1831 年發現電磁感應，奠定了變壓器、發電機、電動機、無線電、磁浮、電磁爐、無線充電等現代電氣技術的基礎。應用：交流發電機、變壓器、電感器、無線充電、電磁爐、磁頭讀讀寫、麥克風與喇叭、心電圖與腦電圖感測器。
計算公式
法拉第定律：ε = −N·dΦ/dt
旋轉線圈峰值：ε_peak = N·B·A·ω
旋轉頻率：f = ω/(2π)
旋轉週期：T = 2π/ω
$$\varepsilon = -N\frac{d\Phi}{dt}$$$$\varepsilon_{\text{peak}} = N B A \omega$$$$f = \frac{\omega}{2\pi}$$使用說明
- 直接模式：輸入匝數 N 與磁通量變化率 dΦ/dt，得感應電動勢 ε=N·|dΦ/dt|。
- 旋轉線圈模式：輸入 N、磁場 B、線圈面積 A、角速度 ω，得峰值電動勢 ε_peak=NBAω 與頻率週期。
- 兩組輸入可同時填寫；若旋轉參數齊全，以旋轉模式結果為主。
dΦ/dt=0.01 Wb/s 時匝數與感應電動勢
| 匝數 N | 感應電動勢 ε (V) |
|---|---|
| 10 | 0.1 |
| 50 | 0.5 |
| 100 | 1.0 |
| 500 | 5.0 |
| 1000 | 10.0 |
| 本例：100 | 1.0 |
感應電動勢與匝數成正比；變壓器與發電機藉增大匝數提升輸出電壓。
理財情境案例
簡易發電機線圈
N=100 匝、B=0.5 T、A=0.01 m²、ω=60 rad/s（f≈9.55 Hz）。
峰值電動勢 ε_peak=100×0.5×0.01×60=30 V。
週期 T=2π/60≈0.105 s，輸出為正弦交流電——基本發電機模型。
變壓器原理驗證
初級線圈 N₁=500、次級 N₂=50，初級 dΦ/dt=0.02 Wb/s。
初級電動勢 ε₁=500×0.02=10 V，次級 ε₂=50×0.02=1 V，電壓比=N₁/N₂=10。
驗證法拉第定律是變壓器變壓原理的基礎——匝數比決定電壓比。
常見問題
法拉第定律中的負號代表什麼？
負號來自冷次定律：感應電動勢（與感應電流）的方向，總是使其產生的磁場反抗引起感應的磁通量變化。當磁通量增大時感應電流產生反向磁場；磁通量減小時產生同向磁場。這是能量守恆的必然結果——若感應電流順向加強磁通變化，將形成正回授、能量無中生有。
旋轉線圈的電動勢為何是正弦波？
旋轉線圈的磁通量 Φ(t)=NBA·cos(ωt)，對時間微分得 ε(t)=NBAω·sin(ωt)。因磁通量隨時間餘弦變化，其導數為正弦，故感應電動勢隨時間作正弦變化——峰值 ε_peak=NBAω 出現在線圈平面與磁場平行時（此時 dΦ/dt 最大）。這就是交流發電機輸出正弦交流電的物理來源。
感應電動勢與匝數為何成正比？
每匝線圈都穿過相同的變化磁通量，各自產生 dΦ/dt 的電動勢，串聯疊加得總電動勢 ε=N·dΦ/dt。這也是變壓器變壓原理：初級與次級繞同一鐵芯、共享磁通量變化，電壓比等於匝數比 V₂/V₁=N₂/N₁。增加匝數是提升感應電壓最直接的方法。
什麼是冷次定律？它如何體現能量守恆？
冷次定律：感應電流的方向使其磁場反抗磁通量的變化。當磁鐵靠近線圈時，線圈感應電流產生排斥磁鐵的磁場，需外力做功才能繼續靠近——這份機械功轉化為電能。若感應電流反向（吸引磁鐵），磁鐵將自動加速、能量無中生有，違反能量守恆。故冷次定律的負號是能量守恆在電磁感應中的具體表現。
變壓器只能在交流電工作嗎？
是。變壓器依賴磁通量的變化產生感應電動勢，直流電的磁通量恆定、dΦ/dt=0，次級無感應電壓。交流電的磁通量持續變化，才能在次級線圈感應出電壓。這也是電力傳輸採用交流的原因之一——可輕易用變壓器升壓（減少線路損耗）再降壓。直流電需先用變流器轉為交流才能變壓。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。ε=−N·dΦ/dt；旋轉線圈峰值 ε_peak=NBAω；冷次定律負號源自能量守恆。