布拉格定律計算器
輸入波長、晶面間距與階數，計算繞射角。Cu Kα λ=0.154nm, d=0.2nm → θ≈22.64°。
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計算結果
重點速覽：布拉格定律（W.H. Bragg 與 W.L. Bragg 父子 1913，獲1915諾貝爾物理獎）：X 射線在晶體中繞射時，相鄰晶面反射的X射線光程差為波長整數倍時建設性干涉，產生繞射峰。條件 nλ=2d·sinθ，其中 λ 為入射波長、d 為晶面間距、θ 為相對晶面的掠射角（非入射角）、n 為階數（整數）。推導：兩相鄰晶面反射光程差 2d·sinθ，等於整數倍 nλ 時相位一致建設性疊加。物理：X 射線波長與原子間距（~0.1nm）相當，故晶體為天然三維光柵。歷史：Laue 1912 先發現晶體繞射現象（Laue 法），Bragg 父子簡化為幾何條件並用於結構分析。應用：(1) X 射線繞射儀（XRD）鑑定晶體結構；(2) 蛋白質晶體學（同步輻射光源）；(3) 半導體晶圓檢測；(4) 應力應變量測；(5) 礦物鑑定。
計算公式
布拉格條件：n·λ = 2·d·sinθ
繞射角：θ = arcsin(n·λ / (2d))
階數：n = 1, 2, 3...
晶面間距：d = a / √(h² + k² + l²)
條件範圍：n·λ ≤ 2d（否則無實數解）
$$n\lambda = 2d\sin\theta, \quad \theta = \arcsin\frac{n\lambda}{2d}, \quad d = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$$使用說明
- 輸入波長 λ（m，Cu Kα 為 1.54e-10）。
- 輸入晶面間距 d（m，約 1e-10 至 1e-9）。
- 輸入階數 n（≥1 整數）。
- 系統計算繞射角 θ 與布拉格條件。
Cu Kα λ=0.154nm 各晶面繞射角（n=1）
| d (nm) | 晶面 | θ (°) |
|---|---|---|
| 0.30 | Si(111) | 14.87 |
| 0.20 | 金剛石(111) | 22.64 |
| 0.154 | — | 30.00 |
| 0.10 | 緊密堆積 | 50.35 |
| 0.077 | 極小間距 | 90.00 |
d 越小 θ 越大。d=λ/2 時 θ=90°（極限）。nλ>2d 時無實數角，條件不滿足。
理財情境案例
X 射線繞射儀（XRD）
XRD 以單色X射線（Cu Kα 0.154nm）掃描角度 2θ=5°-90°，測繞射峰定晶體結構。
香港大學、中大、科大材料實驗室皆有 XRD。樣品粉末或單晶皆可測。
國際粉末繞射數據庫（ICDD）比對峰值可鑑定未知化合物。半導體廠以 XRD 監測薄膜應力與厚度。
蛋白質晶體學與同步輻射
蛋白質晶體面間距大（~10nm），需波長更短的X射線，同步輻射光源提供高亮度可調波長。
台灣光源 TLS、日本 SPring-8 為亞洲主要蛋白質晶體學光源。香港未有此裝置但研究人員可申請使用。
COVID-19 期間蛋白質晶體學加速抗病毒藥設計，解析主蛋白酶結構。此為布拉格定律於生物物理的核心應用。
常見問題
掠射角 θ 與入射角有何不同？
布拉格定律中 θ 為掠射角（glancing angle），即入射光與晶面的夾角，非與法線夾角。XRD 儀器量測的 2θ 為入射與繞射光的夾角，等於兩倍掠射角。與一般光學入射角（與法線夾角）互為餘角。換算：入射角（與法線）=90°-θ。
為什麼需要整數階數 n？
布拉格條件 nλ=2d·sinθ 中 n 為光程差與波長之比，須為整數才相位一致產生建設性干涉。n=1 為一階（最常見、最強），n=2 為二階（需 2θ 等於兩倍一階角，強度通常弱）。高階繞射峰在 XRD 譜上為低階的兩倍角度位置，可協助指認結構。
什麼情況下布拉格條件不滿足？
當 nλ>2d 時 sinθ>1 無實數解，該階數無繞射峰。例如 d=0.077nm、λ=0.154nm、n=1 → sinθ=1（θ=90°）；n=2 → sinθ=2 無解。故每個晶面只對特定波長特定階數產生繞射峰，這是選擇性。改變波長可掃不同晶面。
為什麼用X射線而非可見光？
布拉格繞射需波長與晶面間距相當。晶體原子間距 ~0.1nm，可見光 400-700nm 大四個數量級，繞射角極小無法解析。X 射線波長 0.01-10nm 與原子間距相當，故適合。電子繞射（de Broglie 波長 ~0.001nm）亦可用，但電子穿透力弱適合表面分析。
Bragg 與 Laue 繞射有何區別？
Laue 法（1912）用白光（連續波長）入射固定單晶，每晶面自動選對應波長滿足布拉格條件，產生多個繞射點。Bragg 法用單色光旋轉晶體改變 θ，每角度對應特定晶面。Laue 適合對稱性分析，Bragg 適合精確量 d。現代 XRD 多用 Bragg-Brentano 幾何。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。nλ=2d·sinθ。Bragg 父子 1913、Laue 1912。θ 為掠射角。n 整數階數。nλ>2d 無解。X射線波長與原子間距相當。XRD 蛋白質晶體學應用。