香港計算器

駐波計算器

輸入波速、弦長與諧波數，計算駐波基頻與諧波頻率。v=340、L=1、n=2 → f₂=340Hz、λ₂=1m。

輸入資料

波速 v（m/s）。空氣中聲速 340；鋼弦 5000；光 3e8。
m/s
弦長 L（m）。吉他弦 0.6-0.65m；小提琴 0.33m；鋼琴 0.1-2m。
m
諧波數 n（n=1基頻，n=2二次諧波，n=3三次諧波）。

計算結果

170Hz
170Hz
2m

重點速覽：駐波（Standing wave）：兩列同頻率同振幅反向傳播的波疊加形成的不傳播波動。兩端固定弦的駐波頻率 f_n=n·v/(2L)（n=1,2,3,...），波長 λ_n=2L/n，其中 v 為波速、L 為弦長、n 為諧波數。n=1 為基頻（fundamental），n=2,3,... 為泛音（overtones）。駐波在弦上形成節點（振幅為零）和波腹（振幅最大），節點數為 n+1（含兩端）。歷史：梅爾德 1860 年用音叉和弦演示駐波；亥姆霍茲研究諧波與音色關係。經典例：v=340 m/s（聲速）、L=1m → f₁=170Hz、f₂=340Hz、f₃=510Hz；吉他弦 v=5000 m/s、L=0.65m → f₁=3846Hz。應用：(1) 弦樂器——吉他、小提琴、鋼琴；(2) 管樂器——開管/閉管諧波；(3) 微波諧振腔——雷達、粒子加速器；(4) 量子力學——粒子在勢阱中的駐波；(5) 聲學——房間共振模式。

計算公式

駐波頻率：f_n = n·v/(2L), n=1,2,3,...

基頻：f₁ = v/(2L)

波長：λ_n = 2L/n

波速：v = √(T/μ)（弦上橫波，T 為張力，μ 為線密度）

節點數：n+1（含兩端），波腹數：n

$$f_n = \frac{n v}{2L}, \quad \lambda_n = \frac{2L}{n}, \quad n = 1,2,3,\ldots$$

使用說明

  1. 輸入波速 v（m/s）、弦長 L（m）、諧波數 n。
  2. 系統計算基頻 f₁=v/(2L)、n 次諧波 f_n=n·f₁、波長 λ_n=2L/n。
  3. 常用：v=340、L=1、n=2 → f₂=340Hz、λ₂=1m；v=5000、L=0.65、n=1 → f₁=3846Hz。

常見弦駐波頻率範例

常見弦駐波頻率範例
樂器v (m/s)L (m)f₁ (Hz)f₂ (Hz)f₃ (Hz)
吉他 E弦50000.653846769211538
小提琴 A弦40000.3360611212118182
鋼琴中央C30001.2125025003750
空氣柱(開管)3400.53406801020
長笛3400.66258515773
微波腔3e80.11.5e93e94.5e9

f_n=n·v/(2L)。弦上波速 v=√(T/μ)：吉他弦張力 T≈70N、線密度 μ=0.01g/cm → v≈837m/s。實際頻率因弦徑和材質而異。微波腔 f₁=1.5GHz 用於雷達。

理財情境案例

吉他弦振動與音高

吉他標準調弦 E2(82.4Hz)：弦長 L=0.648m，鋼弦線密度 μ=0.0058g/cm，張力 T≈70N → v=√(T/μ)≈3478m/s。

基頻 f₁=v/(2L)=3478/(2×0.648)=2683Hz？實際 E2=82.4Hz。原因：弦徑較粗使有效長度修正，且品位按 12平均律設計。

按第12品位 L'=L/2 → f'=2f₁（高一個八度）。泛音奏法輕觸弦中點激發 n=2 諧波，音色清亮。

微波諧振腔駐波應用

微波爐諧振腔長約 0.3m，波速 c=3e8 m/s → f₁=c/(2L)=3e8/(2×0.3)=500MHz。實際微波爐 2.45GHz（λ=12.2cm）。

微波在金屬壁間多次反射形成駐波，節點處食物不熱（冷點）。轉盤旋轉使食物均勻加熱。

粒子加速器利用射頻駐波腔加速電子，SLAC 直線加速器 3GHz 駐波腔使電子達 50GeV。MRI 1.5T 質子拉莫爾頻率 63.9MHz 在人體內形成射頻駐波激發。

常見問題

什麼是駐波的節點和波腹？

節點（node）為振幅為零的點，波腹（antinode）為振幅最大的點。兩端固定弦 n 次諧波有 n+1 個節點（含兩端）和 n 個波腹。基頻（n=1）有2節點1波腹；n=2 有3節點2波腹。節點間距 λ/2。觸弦於節點不改變音高，觸於波腹抑制該諧波。

弦上波速如何決定？

弦上橫波波速 v=√(T/μ)，T 為弦張力（N），μ 為線密度（kg/m）。張力越大、線密度越小，波速越快、頻率越高。吉他調音旋緊弦提升張力 T，使 v 增大、頻率升高。粗弦 μ 大頻率低（低音弦）。鋼弦 v=3000-5000 m/s，尼龍弦 v=2000-3000 m/s。

為什麼弦樂器諧波是整數倍？

兩端固定弦的邊界條件（位移=0）要求弦長為半波長的整數倍 L=n·λ/2，故 λ_n=2L/n，f_n=v/λ_n=n·v/(2L)=n·f₁。整數倍諧波使弦樂器音色和諧（和聲）。管樂器開管同樣整數倍；閉管僅奇數倍 f_n=(2n-1)·v/(4L)，音色較「空」。

什麼是泛音奏法？

泛音奏法（harmonic）輕觸弦於節點位置（如 L/2、L/3、L/4），抑制基頻和部分諧波，突出特定高次諧波。觸 L/2 → 僅偶數諧波（n=2,4,6,...）；觸 L/3 → 僅 3 的倍數諧波。吉他第12品位泛音音高為基頻的2倍（高一八度），音色清亮如鐘。

駐波在量子力學中的意義？

薛丁格方程在無限深方勢阱中的解為駐波 ψ_n(x)=√(2/L)·sin(nπx/L)，能量 E_n=n²π²ℏ²/(2mL²)。粒子被限制在勢阱中形成駐波，n 為量子數。基態 n=1 對應駐波基頻，激發態 n=2,3,... 為諧波。此為量子化能量的來源：能量只能取駐波對應的離散值。原子中電子駐波形成原子軌域。

相關工具

參考資料

內容審核：香港計算器科學團隊。駐波頻率 f_n=n·v/(2L)，波長 λ_n=2L/n。v=340、L=1、n=2 → f₂=340Hz、λ₂=1m。弦波速 v=√(T/μ)。節點 n+1 個、波腹 n 個。整數倍諧波使弦樂器音色和諧。量子力學勢阱中粒子駐波導致能量量子化。