三角形四心（內心 / 外心 / 重心 / 垂心）求解器
輸入三角形三個頂點 A, B, C 座標，一鍵算出內心、外心、重心、垂心四心坐標，並附邊長、面積與圖表。
輸入資料
計算結果
三角形與四心位置示意
圖表解讀：圖中標出三頂點連成的三角形與四心位置：等邊時四心重合於一點，直角時垂心在直角頂、外心在斜邊中點。
重點速覽：三角形四心指重心 G（三中線交點，座標平均）、內心 I（三內角平分線交點，按邊長加權）、外心 O（三垂直平分線交點，外接圓圓心）與垂心 H（三高交點）。四心共線於歐拉線，滿足 H = 3G − 2O。
計算公式
重心 G = ((xA+xB+xC)/3, (yA+yB+yC)/3)。
內心 I = (a·A + b·B + c·C)/(a+b+c)，其中 a=|BC|, b=|CA|, c=|AB|。
外心 O：解垂直平分線交點；D = 2[xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)]。
垂心 H = 3G − 2O（歐拉線關係）。
面積：鞋帶公式 |xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)| / 2。
$$G = \left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\;\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$$$$I = \frac{aA + bB + cC}{a+b+c}$$$$H = 3G - 2O$$使用說明
- 依次輸入三角形三個頂點 A, B, C 的 x, y 座標。
- 系統即時算出重心 G、內心 I、外心 O、垂心 H 的座標。
- 同時給出三邊長 a, b, c 與面積，並在說明欄總結四心關係。
- 可參考下方案例驗證自己的幾何計算，或用圖表直觀檢視四心位置。
常見三角形四心速查（座標取 4 位）
| 三角形 | 重心 G | 內心 I | 外心 O | 垂心 H |
|---|---|---|---|---|
| 等邊 A(0,0)B(2,0)C(1,√3) | (1, 0.5774) | (1, 0.5774) | (1, 0.5774) | (1, 0.5774) |
| 直角 A(0,0)B(3,0)C(0,4) | (1, 1.3333) | (1, 1) | (1.5, 2) | (0, 0) |
| 等腰 A(0,0)B(4,0)C(2,3) | (2, 1) | (2, 1) | (2, 0.75) | (2, 1.5) |
等邊三角形四心重合；直角三角形垂心在直角頂；鈍角三角形垂心與外心在形外。
情境案例
等邊三角形 A(0,0), B(2,0), C(1,√3)
三邊長均為 2，屬等邊三角形。
四心重合於 (1, 0.5774)：重心 = 內心 = 外心 = 垂心。
面積 = √3 ≈ 1.7321，驗證 ½·2·√3 = √3。
直角三角形 A(0,0), B(3,0), C(0,4)
邊長 a=|BC|=5, b=|CA|=4, c=|AB|=3（3-4-5 直角三角形）。
重心 G=(1, 1.3333)；外心 O 為斜邊中點 (1.5, 2)。
垂心 H = 直角頂點 A = (0,0)，因兩股互相垂直。
等腰直角三角形 A(0,0), B(2,0), C(0,2)
邊長 a=2√2≈2.8284, b=2, c=2。
重心 G=(0.6667, 0.6667)，外心 O=(1,1)。
垂心 H=(0,0)=A，面積 = 2。
鈍角三角形 A(0,0), B(5,0), C(2,2)
邊長 a≈3.6056, b≈2.8284, c=5。
重心 G=(2.3333, 0.6667)。
垂心 H 會落在三角形外部（鈍角三角形特徵），外心 O 亦在形外。
A(1,1), B(4,5), C(7,2) 一般三角形
邊長 a≈4.2426, b≈7.2111, c=5。
重心 G=(4, 2.6667)。
內心 I 按邊長加權後位於形內，外心 O 由垂直平分線求得。
等腰三角形 A(0,0), B(4,0), C(2,3)
邊長 a=b≈3.6056, c=4，對稱軸 x=2。
重心、內心、垂心、外心均落在對稱軸 x=2 上（等腰三角形性質）。
面積 = 6，驗證 ½·4·3 = 6。
常見問題
四心一定都在三角形內部嗎？
不一定。重心與內心永遠在形內；外心在銳角三角形內、直角三角形斜邊中點、鈍角三角形形外；垂心在銳角形內、直角頂、鈍角形外。
歐拉線是什麼？
重心 G、外心 O、垂心 H（以及九點圓圓心）共線，稱為歐拉線，且滿足向量關係 H = 3G − 2O，即 OG : GH = 1 : 2。
內心公式為什麼用邊長加權？
內心是三內角平分線交點，到三邊等距。其座標可表示為三頂點按對邊長 a, b, c 加權平均，這等價於角平分線定理。
外心與外接圓有什麼關係？
外心 O 是外接圓的圓心，到三頂點距離相等（皆為外接圓半徑 R）。直角三角形時 R = 斜邊/2，O 在斜邊中點。
垂心為什麼會在形外？
鈍角三角形的三高有兩條落在形外，其延線交點（垂心）因此位於三角形外部。這是鈍角三角形的典型特徵。
鞋帶公式怎麼算面積？
將頂點按順時針或逆時針排列，面積 = |Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)| / 2。本工具自動套用，與底×高÷2 結果一致。
等腰三角形有什麼特殊性？
等腰三角形的四心都落在底邊的垂直對稱軸上，這點在作圖與驗證時非常方便，可用本工具確認對稱性。
輸入座標有順序要求嗎？
沒有。本工具對頂點標號 A, B, C 的順序不敏感，任意順序都會得到相同的四心集合（但個別標號對應的邊長 a, b, c 會隨標號改變）。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。重心、內心、外心、垂心公式與歐拉線關係 H=3G−2O 均已驗證。