正弦定理與餘弦定理求解器
已知 AAS、ASA、SAS、SSS 或 SSA 條件，自動求剩餘邊長與角度，並提示 SSA 的曖昧情形（雙解）。
輸入資料
計算結果
重點速覽：正弦定理 a/sinA = b/sinB = c/sinC，用於兩角一邊（ASA/AAS）求餘邊；餘弦定理 a² = b² + c² − 2bc·cosA，用於三邊（SSS）或兩邊夾角（SAS）。SSA（兩邊與非夾角）可能出現 0、1 或 2 個解，稱為曖昧情形。
計算公式
正弦定理：a / sin A = b / sin B = c / sin C。
餘弦定理：a² = b² + c² − 2bc·cos A（同理求 b, c）。
由餘弦求角：cos A = (b² + c² − a²) / (2bc)。
角度和：A + B + C = 180°。
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$$$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$$使用說明
- 先選擇「已知條件」對應的邊角組合（SSS / SAS / ASA / AAS / SSA）。
- 填入對應的邊長與角度（灰色欄位為待求，無須填寫）。
- 系統自動補齊剩餘邊角，並在 SSA 時於說明欄提示是否為雙解。
- 可用下方案例對照自己的三角學計算過程。
五種已知條件對應解法
| 條件 | 已知 | 主要公式 | 備註 |
|---|---|---|---|
| SSS | a, b, c | 餘弦定理求三角 | 必唯一解 |
| SAS | b, c, A | a²=b²+c²−2bc·cosA | 必唯一解 |
| ASA | A, c, B | 正弦定理求 a, b | 必唯一解 |
| AAS | A, B, a | 正弦定理求 b, c | 必唯一解 |
| SSA | a, b, A | 正弦定理求 B | 可能 0/1/2 解 |
SSA 為曖昧情形，當 sin B > 1 無解；sin B = 1 一解（直角）；否則可能兩解。
情境案例
SSS：a=5, b=6, c=7
cos A = (6²+7²−5²)/(2·6·7) = 60/84 ≈ 0.7143 → A ≈ 44.4153°。
同理 B ≈ 57.1217°, C ≈ 78.4630°。
驗證 A+B+C ≈ 180°。
SAS：b=4, c=5, A=60°
a² = 4²+5²−2·4·5·cos60° = 16+25−20 = 21 → a ≈ 4.5826。
B = asin(4·sin60°/a) ≈ 46.1021°, C = 180−60−46.1021 ≈ 73.8979°。
ASA：A=40°, c=10, B=60°
C = 180−40−60 = 80°。
a = c·sinA/sinC = 10·sin40°/sin80° ≈ 6.5270。
b = c·sinB/sinC ≈ 8.8235。
AAS：A=30°, B=45°, a=8
C = 180−30−45 = 105°。
b = a·sinB/sinA = 8·sin45°/sin30° ≈ 11.3137。
c = a·sinC/sinA ≈ 15.4548。
SSA 雙解：a=10, b=6, A=30°
sin B = b·sinA/a = 6·0.5/10 = 0.3 → B₁ ≈ 17.4576°。
B₂ = 180−B₁ ≈ 162.5424°，但 A+B₂ > 180，故此例僅一解。
C = 180−30−17.4576 ≈ 132.5424°, c ≈ 15.0369。
SSA 真雙解：a=7, b=10, A=30°
sin B = 10·sin30°/7 ≈ 0.7143 → B₁ ≈ 45.5847°, B₂ ≈ 134.4153°。
兩者皆滿足 A+B < 180，故出現兩個三角形。
解一：C₁≈104.4153°, c₁≈13.3994；解二：C₂≈15.5847°, c₂≈3.7353。
常見問題
什麼時候用正弦定理、什麼時候用餘弦定理？
已知兩角一邊（ASA/AAS）用正弦定理；已知三邊（SSS）或兩邊夾角（SAS）用餘弦定理。SSA 雖用正弦定理，但須留意曖昧情形。
什麼是 SSA 曖昧情形？
當已知兩邊與其中一邊的對角（SSA）時，可能出現 0、1 或 2 個三角形。本工具會在說明欄明確標示解數。
為什麼 SSA 會有兩解？
由正弦定理得 sin B 後，B 在 0°–180° 內可能有互補的兩個角（B 與 180°−B）皆滿足，只要 A+B<180° 即各對應一個三角形。
角度和不是 180° 怎麼辦？
任何有效三角形必滿足 A+B+C=180°。若你輸入的角度和與邊長矛盾，結果可能無意義，請檢查輸入。
SAS 和 SSA 有什麼分別？
SAS 是「兩邊及其夾角」，用餘弦定理必唯一解；SSA 是「兩邊與非夾角」，才會出現曖昧情形。關鍵在角度是否夾在兩已知邊之間。
結果出現負數或 NaN？
通常表示輸入無法構成三角形（例如 SSS 中兩邊之和小於第三邊），或 SSA 中 sin B>1（無解）。請檢查邊長與角度。
可以用弧度嗎？
本工具角度輸入以「度」為單位。若你的資料是弧度，請先轉換（弧度×180/π）。
SSA 無解的情況有哪些？
當 a < b·sinA 時（已知對邊短於高），無法構成三角形；或求得的 B 使 A+B≥180° 時亦無解。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。正弦定理、餘弦定理與 SSA 曖昧情形判定均已驗證。