泰勒級數 / 麥克勞林級數展開器
對 sin、cos、eˣ、ln(1+x)、1/(1−x) 與多項式，在中心 a 展開為前 n 項，給出係數並比較取樣值。
輸入資料
計算結果
重點速覽：泰勒級數在中心 a 將函數寫成冪級數：f(x)=Σ_{k=0}^∞ f⁽ᵏ⁾(a)/k!·(x−a)ᵏ；a=0 時稱麥克勞林級數。本工具對常見函數給出前 n 項精確係數，並在取樣點比較級數值與精確值以觀察收斂。
計算公式
一般式：f(x) ≈ Σ_{k=0}^{n−1} [f⁽ᵏ⁾(a)/k!] (x−a)ᵏ。
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − …（|x|<1）
1/(1−x) = 1 + x + x² + x³ + …（|x|<1）
$$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$$$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$$使用說明
- 選擇函數（sin/cos/eˣ/ln(1+x)/1/(1−x) 或自定多項式）。
- 輸入展開中心 a（a=0 為麥克勞林）與項數 n。
- 輸入取樣點 x，比較級數值與精確值。
- 多項式模式另輸入係數 c₀–c₄。
常見麥克勞林級數（a=0）
| 函數 | 級數 | 收斂域 |
|---|---|---|
| eˣ | Σ xᵏ/k! | 全部 x |
| sin x | Σ (−1)ᵏ x^{2k+1}/(2k+1)! | 全部 x |
| cos x | Σ (−1)ᵏ x^{2k}/(2k)! | 全部 x |
| ln(1+x) | Σ (−1)^{k−1} xᵏ/k | |x|<1 |
| 1/(1−x) | Σ xᵏ | |x|<1 |
項數越多近似越好；但 ln(1+x) 與 1/(1−x) 僅在 |x|<1 收斂。
情境案例
sin x 在 a=0，前 5 項
= x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + x⁹/362880。
x=0.5：級數 ≈ 0.479427，精確 sin0.5 ≈ 0.479426（吻合）。
eˣ 在 a=0，前 6 項
= 1 + x + x²/2 + x³/6 + x⁴/24 + x⁵/120。
x=1：級數 ≈ 2.716667，精確 e ≈ 2.718282。
cos x 在 a=0，前 5 項
= 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + x⁸/40320。
ln(1+x) 在 a=0，前 5 項
= x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + x⁵/5（|x|<1 收斂）。
x=0.5：級數 ≈ 0.407292，精確 ln1.5 ≈ 0.405465。
1/(1−x) 在 a=0，前 5 項
= 1 + x + x² + x³ + x⁴（幾何級數，|x|<1）。
eˣ 在 a=1（泰勒非麥克勞林）
= e·[1 + (x−1) + (x−1)²/2 + (x−1)³/6 + …]。
以 a=1 為中心，收斂半徑仍為 ∞。
常見問題
泰勒級數與麥克勞林級數差別？
麥克勞林級數是泰勒級數在中心 a=0 的特例。兩者形式相同，只是展開中心不同。
為什麼 ln(1+x) 只在 |x|<1 收斂？
ln(1+x) 在 x=−1 有奇點，故收斂半徑為 1；x≥1 或 x≤−1 時級數發散，不能用來近似。
項數越多越準嗎？
在收斂域內，項數越多近似越準。但在收斂域邊緣（如 x 接近 1）收斂慢，需很多項。
係數 f⁽ᵏ⁾(a)/k! 怎麼來？
使級數在 a 處與函數有相同的前 k 階導數；本工具對列出函數直接給出封閉係數，免逐階求導。
多項式展開有意義嗎？
有。多項式本身就是有限泰勒級數（高階係數為 0），在中心 a 展開可觀察平移後的形式。
1/(1−x) 的級數是什麼？
即幾何級數 Σ xᵏ = 1 + x + x² + …，收斂條件 |x|<1；這是許多級數展開的基礎。
可以取 a≠0 嗎？
可以。泰勒級數以 (x−a) 為基，本工具支援任意中心 a，例如 eˣ 在 a=1 展開。
級數值與精確值差很多？
若取樣點超出收斂域（如 ln 在 x>1）或項數太少，差異會大；請增大 n 或選收斂域內的 x。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。sin/cos/eˣ/ln/1/(1−x) 與多項式的泰勒係數已驗證。