積分（Integration）計算器：定積分數值與解析反導數
輸入 f(x) 與區間 [a,b]，Simpson 數值求定積分，並對常見函數給出解析不定積分，附換元與分部積分說明。
輸入資料
計算結果
重點速覽：定積分 ∫ₐᵇ f(x)dx 表示曲線下淨面積；不定積分是反導數 F(x)+C，滿足 F'(x)=f(x)。常用技巧：換元積分（令 u=g(x) 使 du=g'(x)dx）與分部積分 ∫u dv = uv − ∫v du。
計算公式
定積分數值：Simpson 法 ∫≈(h/3)[f₀+4f₁+2f₂+4f₃+…+fₙ]。
冪函數：∫xⁿ dx = x^{n+1}/(n+1) + C（n≠−1）。
∫eˣ dx = eˣ + C；∫1/x dx = ln|x| + C。
換元：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du。
分部：∫u dv = uv − ∫v du。
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$使用說明
- 輸入 f(x)（x, + - * / ^, sin/cos/exp/ln/sqrt, e, pi）。
- 輸入下限 a、上限 b（b>a）。
- 系統以 Simpson 法給定積分值，並對常見函數給出解析反導數。
- 下方案例示範換元與分部積分，可與數值結果對照。
基本反導數速查
| f(x) | ∫ f(x)dx (+C) | 備註 |
|---|---|---|
| xⁿ | x^{n+1}/(n+1) | n≠−1 |
| eˣ | eˣ | — |
| 1/x | ln|x| | x≠0 |
| sin x | −cos x | — |
| cos x | sin x | — |
| 1/(1+x²) | atan x | — |
定積分數值以 Simpson 法估算；若解析欄空白表示本版未收錄該函數的解析反導數，請以數值為準。
情境案例
∫₀² x² dx
反導數 x³/3；定積分 = 8/3 − 0 = 2.666667。
Simpson 數值 ≈ 2.666667。
換元：∫₀¹ 2x·e^{x²} dx
令 u=x², du=2x dx → ∫eᵘ du = eᵘ。
= e¹ − e⁰ = e − 1 ≈ 1.718282。
分部：∫ x·eˣ dx
u=x, dv=eˣdx → du=dx, v=eˣ。
= x eˣ − ∫eˣ dx = eˣ(x−1) + C。
∫ sin x dx（0 到 π）
反導數 −cos x；定積分 = −cos π + cos 0 = 1 + 1 = 2。
∫ 1/x dx（1 到 e）
反導數 ln|x|；定積分 = ln e − ln 1 = 1。
∫₀¹ 1/(1+x²) dx
反導數 atan x；定積分 = atan 1 − atan 0 = π/4 ≈ 0.785398。
常見問題
定積分與不定積分差別？
定積分 ∫ₐᵇ 給出數值（淨面積）；不定積分是反導數族 F(x)+C。兩者由微積分基本定理連結：∫ₐᵇ = F(b)−F(a)。
什麼是換元積分？
令 u=g(x)，則 du=g'(x)dx，把 ∫f(g(x))g'(x)dx 化為 ∫f(u)du。適用於內外函數相乘的形式（如 e^{x²}·2x）。
什麼是分部積分？
公式 ∫u dv = uv − ∫v du，適用於乘積如 x·eˣ、x·sin x。選 u 使微分後變簡（LIATE 法則：對數>反三角>代數>三角>指數）。
Simpson 法準確嗎？
對光滑函數 Simpson 法收斂很快（誤差∝1/n⁴）。本工具用足夠多的子區間，與解析值通常吻合到小數多位。
為什麼不定積分有 +C？
反導數不唯一，任意常數差都不影響導數，故寫 F(x)+C。定積分代入上下限後 C 相消。
解析反導數空白？
本版收錄多項式與常見基本函數的解析反導數；其他組合（如 e^{x²}）無初等反導數，此時請以定積分数值為準。
∫1/x 在 0 附近？
1/x 在 x=0 無定義且積分發散；區間不可含 0，否則結果無意義。
支援哪些函數？
x、四則、冪次 ^、括號，以及 sin/cos/tan/exp/ln/sqrt/abs 與常數 e, pi。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。Simpson 數值積分與基本反導數已驗證。