導數與高階導數（Derivative）計算器
輸入 f(x) 與點 a，數值計算一階 f'(a) 與二階 f''(a)，並附乘積、商、鏈鎖法則說明。
輸入資料
計算結果
重點速覽：導數 f'(a) 是函數在 x=a 的瞬時變率（切線斜率）；二階導數 f''(a) 描述變率之變率（凹凸性）。常用法則：乘積 (uv)'=u'v+uv'、商 (u/v)'=(u'v−uv')/v²、鏈鎖 d/dx f(g(x))=f'(g(x))g'(x)。
計算公式
數值（中心差分）：f'(a) ≈ [f(a+h) − f(a−h)] / (2h)。
二階：f''(a) ≈ [f(a+h) − 2f(a) + f(a−h)] / h²。
乘積法則 (uv)' = u'v + uv'。
商法則 (u/v)' = (u'v − uv') / v²。
鏈鎖法則 d/dx f(g(x)) = f'(g(x))·g'(x)。
$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$$$(uv)' = u'v + uv'$$$$(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$使用說明
- 輸入 f(x) 表達式（x, + - * / ^, sin/cos/exp/ln/sqrt, e, pi）。
- 輸入求導點 a。
- 系統給出 f(a)、一階導數 f'(a) 與二階導數 f''(a)（數值）。
- 下方案例示範三大法則的解析算法，可與數值結果對照。
基本函數導數速查
| f(x) | f'(x) | f''(x) |
|---|---|---|
| xⁿ | n x^{n−1} | n(n−1) x^{n−2} |
| sin x | cos x | −sin x |
| eˣ | eˣ | eˣ |
| ln x | 1/x | −1/x² |
| 1/x | −1/x² | 2/x³ |
數值結果末位可能含浮點誤差；整數/簡單值請取整數解讀。
情境案例
f(x)=x³，求 f'(2)
解析：f'(x)=3x² → f'(2)=12。
數值（h=1e-5）亦 ≈ 12.0000。
乘積法則：f(x)=x²·sin x，求 f'(π/2)
u=x², v=sin x；u'=2x, v'=cos x。
f'=(2x)(sin x)+(x²)(cos x)。
x=π/2：2·(π/2)·1 + (π/2)²·0 = π ≈ 3.1416。
商法則：f(x)=eˣ/(x+1)，求 f'(0)
u=eˣ, v=x+1；u'=eˣ, v'=1。
f'=(eˣ(x+1)−eˣ·1)/(x+1)² = eˣ·x/(x+1)²。
x=0 → 0。
鏈鎖法則：f(x)=(2x+1)³
令 g=2x+1，外層 g³ 導數 3g²·g'=3(2x+1)²·2=6(2x+1)²。
f'(1)=6·9=54。
f(x)=sin x，f''(π)
f'=-cos x，f''=-sin x。
f''(π) = -sin π = 0。
f(x)=eˣ 在任意點
f'(a)=f''(a)=eᵃ（指數函數自導）。
a=1 → e ≈ 2.7183。
常見問題
數值導數與解析導數差在哪？
本工具用中心差分法數值估算，對一般函數足夠準確；解析導數為精確公式。案例中的解析值可對照驗證。
什麼是鏈鎖法則？
對複合函數 f(g(x))，外層對 g 求導後再乘內層導數 g'(x)。例如 (2x+1)³ 的導數是 3(2x+1)²·2。
二階導數有什麼用？
f''(a)>0 圖形在 a 處凹向上（局部最小附近），f''(a)<0 凹向下（局部最大附近）；物理上為加速度。
為什麼結果有小誤差？
中心差分取極小 h，浮點運算會引入捨入誤差；若期望為整數/簡單分數請取整數解讀。
支援哪些函數？
x、四則、冪次 ^、括號，以及 sin/cos/tan/exp/ln/sqrt/abs 與常數 e, pi。
f'(a) 是切線斜率嗎？
是的，f'(a) 即曲線在 x=a 處切線的斜率；切線方程為 y−f(a)=f'(a)(x−a)。
隱函數或參數式可以嗎？
本工具僅處理顯函數 y=f(x)。隱函數或參數式需另行用隱微分或 dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
高階（三階以上）導數？
本版提供到二階 f''(a)；更高階可連續套用差分，但數值穩定性會下降。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。中心差分數值導數與三大法則案例已驗證。