函數極限（Limits）計算器
輸入 f(x) 與趨近點 a 或 ∞，數值估算 x→a 與 x→∞ 極限，並自動偵測 0/0、∞/∞ 不定式。
輸入資料
計算結果
重點速覽：極限 lim_{x→a} f(x) = L 表示當 x 無限接近 a 時 f(x) 趨近 L。若代入 a 得 0/0 或 ∞/∞，稱為不定式，可用洛必達法則（對分子分母分別求導後再取極限）或其他化簡求解。x→∞ 時觀察函數的漸進行為。
計算公式
直接代入：若 f(a) 有定義且連續，極限 = f(a)。
0/0 或 ∞/∞：洛必達法則 lim f/g = lim f'/g'（必要時重複）。
x→∞：比較分子分母最高次冪，或取對數分析。
$$\lim_{x\to a} f(x) = L$$$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \quad (0/0,\ \infty/\infty)$$使用說明
- 輸入 f(x) 表達式（可用 x, + - * / ^, sin/cos/tan/exp/ln/sqrt, 常數 e, pi）。
- 輸入趨近點 a 的數值，或輸入 inf 表示趨近無窮大。
- 系統給出雙側極限與左右極限，並在說明欄判定是否為不定式。
- 可參考下方案例驗證自己的極限計算。
常見極限速查
| 極限 | 值 | 類型 |
|---|---|---|
| lim_{x→0} sin x / x | 1 | 0/0 |
| lim_{x→0} (1−cos x)/x² | ½ | 0/0 |
| lim_{x→∞} (1+1/x)^x | e | 1^∞ |
| lim_{x→0} ln(1+x)/x | 1 | 0/0 |
| lim_{x→∞} e^(−x) | 0 | 趨 0 |
1^∞ 等不定式亦可取對數後用洛必達。
情境案例
lim_{x→1} (x²−1)/(x−1)
代入 x=1 得 0/0（不定式）。
因式分解：(x−1)(x+1)/(x−1) = x+1 → 極限 = 2。
洛必達：分子分母各求導得 2x/1 → x=1 時 = 2。
lim_{x→0} sin x / x
0/0 不定式。
洛必達：cos x / 1 → x=0 時 = 1。
亦可由泰勒展開 sin x ≈ x 直接得 1。
lim_{x→∞} (3x²+1)/(2x²+5)
∞/∞ 不定式。
比較最高次：3x²/2x² → 3/2 = 1.5。
lim_{x→0} (1−cos x)/x²
0/0 不定式。
洛必達兩次：→ sin x/(2x) → cos x/2 → 1/2 = 0.5。
lim_{x→∞} e^(−x)
隨 x 增大趨於 0；x=10 時約 4.5×10⁻⁵。
極限 = 0（水平漸近線 y=0）。
lim_{x→0} ln(1+x)/x
0/0 不定式。
洛必達：1/(1+x) / 1 → x=0 時 = 1。
常見問題
什麼是 0/0 不定式？
直接代入使分子分母同為 0，極限不定，需化簡（因式約分）或洛必達法則。本工具會自動標示並給出數值極限。
洛必達法則何時能用？
僅當極限為 0/0 或 ∞/∞ 時適用：對分子、分母分別求導後再取極限，必要時重複，直到不再是兩類不定式。
左右極限不等怎麼辦？
若左極限 ≠ 右極限（如階躍、絕對值尖點），則雙側極限不存在。本工具會顯示兩者並提示。
x→∞ 怎麼算？
工具在 x=10², 10⁴, 10⁶… 取樣觀察收斂趨勢；有理函數看最高次冪比，指數/對數看增減速率。
為什麼結果有小誤差？
極限以 10⁻ᵉ 級逼近數值估算，末位可能略有浮點誤差；若值為整數/簡單分數請取整理解讀。
支援哪些函數？
支援 x、四則、冪次 ^、括號，以及 sin/cos/tan/exp/ln/sqrt/abs 與常數 e, pi。
可以用 abs 或分段嗎？
可用 abs(x) 表達含絕對值；分段函數請分別求左右極限後比較。
與連續性有什麼關係？
若 f 在 a 連續，則 lim_{x→a} f(x) = f(a)；極限存在但不等於函數值（或無定義）即為可去不連續點。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。極限數值估算與不定式判定邏輯已驗證。