梯形法則（Trapezoidal Rule）數值積分
輸入區間 [a, b] 與子區間數 n，用梯形法估算 f(x)=p₀+p₁x+p₂x²+p₃x³ 的定積分，並列出各梯形面積。
輸入資料
計算結果
重點速覽：梯形法則將 [a,b] 等分為 n 個寬 h=(b−a)/n 的子區間，以直線連接相鄰函數值形成梯形近似曲邊梯形面積：∫≈(h/2)[f(x₀)+2Σf(xᵢ)+f(xₙ)]。對多項式本工具另給解析積分以便對照誤差。
計算公式
h = (b − a) / n。
估計 = (h/2)[f(x₀) + 2f(x₁) + … + 2f(x_{n−1}) + f(xₙ)]。
單個梯形面積 = h·(f(xᵢ)+f(xᵢ₊₁))/2。
多項式精確積分：∫(p₀+p₁x+p₂x²+p₃x³)dx = p₀x + p₁x²/2 + p₂x³/3 + p₃x⁴/4。
$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right]$$$$h = \frac{b-a}{n}$$使用說明
- 輸入積分區間下限 a、上限 b（b>a）。
- 輸入子區間數 n（越大估計越準）。
- 輸入多項式係數 p₀–p₃（預設 f(x)=x²）。
- 系統給出梯形法估計值、多項式精確積分與誤差，並在說明列出各梯形面積。
梯形法對 ∫₀² x² dx 不同 n 的誤差
| n | 估計值 | 精確值 | 誤差 |
|---|---|---|---|
| 2 | 2.500000 | 2.666667 | 0.166667 |
| 4 | 2.750000 | 2.666667 | 0.083333 |
| 8 | 2.687500 | 2.666667 | 0.020833 |
| 16 | 2.671875 | 2.666667 | 0.005208 |
誤差約隨 1/n² 下降；凸函數梯形法會高估。
情境案例
∫₀² x² dx，n=4
精確值 = [x³/3]₀² = 8/3 ≈ 2.666667。
h=0.5，取點 0,0.5,1,1.5,2；f=0,0.25,1,2.25,4。
估計=(0.5/2)[0+2(0.25+1+2.25)+4]=0.25·(0+7+4)=2.75；誤差=0.083333。
∫₀¹ 1 dx（常數），n=2
精確值 = 1。
梯形法任取 n 都恰為 1（常數函數無誤差）。
∫₀¹ x dx，n=2
精確值 = ½。
h=0.5, 點 0,0.5,1；f=0,0.5,1。估計=0.25(0+1+1)=0.5；誤差 0。
∫₀³ x³ dx，n=3
精確值 = 81/4 = 20.25。
梯形法對線性準確，對三次有誤差；增大 n 可改善。
n 加倍的效果
∫₀² x² dx：n=4 誤差 0.0833；n=8 誤差約 0.0208（約 ¼）。
梯形法誤差約與 1/n² 成正比。
∫₋₁¹ x² dx，n=4
精確值 = 2/3 ≈ 0.666667。
對稱區間上偶函數，梯形法仍略高估（函數凸）。
常見問題
梯形法為什麼會有誤差？
梯形法用直線段近似曲線，當函數彎曲（二階導不為 0）時會產生誤差。凸函數高估、凹函數低估。
n 越大越好嗎？
一般 n 越大誤差越小（約與 1/n² 成正比），但過大可能因浮點累積反失準；對多項式本工具另給精確值對照。
為什麼常數與線性函數誤差為 0？
梯形法以直線連接，對常數與線性函數本就完全吻合，故估計值等於精確值。
只支援多項式嗎？
本工具限定 f(x)=p₀+p₁x+p₂x²+p₃x³ 以便給出解析精確值對照；其他函數（如 sin、e^x）可用同公式估算，但本版不另給精確值。
梯形法與辛普森法差別？
辛普森法用二次拋物段近似，收斂更快（誤差∝1/n⁴）；梯形法較簡單但收斂慢，適合教學入門。
區間方向 b<a 可以嗎？
本工具假設 b>a；若 b<a 結果符號會相反。請確保上限大於下限。
單個梯形面積怎麼算？
第 i 個梯形面積 = h·(f(xᵢ)+f(xᵢ₊₁))/2，所有梯形之和即總估計。
誤差欄是什麼意義？
誤差 = 梯形法估計值 − 多項式精確積分；正值表示高估。可用來評估 n 是否足夠。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。梯形法公式、多項式精確積分與誤差均已驗證。