聯立一次方程（2×2 System）計算器
解二元一次聯立，輸出交點 (x, y)，並以消去法或代入法展示步驟。
輸入資料
第一式 x 係數。
第一式 y 係數。
第一式常數項。
第二式 x 係數。
第二式 y 係數。
第二式常數項。
計算結果
2
3
-3
行列式 D = a₁b₂ − a₂b₁ = -3 ≠ 0 ⇒ 唯一解。 克拉瑪：x = Dx/D = -6/-3 = 2；y = Dy/D = -9/-3 = 3。 交點座標：(2, 3)。
重點速覽：二元一次聯立：a₁x+b₁y=c₁，a₂x+b₂y=c₂。行列式 D=a₁b₂−a₂b₁；D≠0 時有唯一解 x=(c₁b₂−c₂b₁)/D，y=(a₁c₂−a₂c₁)/D（克拉瑪公式）。D=0 且 Dₓ,D_y 不全為 0 → 平行（無解）；D=Dₓ=D_y=0 → 重合（無限解）。圖形上兩直線交點即解。
計算公式
D = a₁b₂ − a₂b₁。
x = (c₁b₂ − c₂b₁) / D，y = (a₁c₂ − a₂c₁) / D。
消去法：同乘使某變數係數相同後相減。
代入法：由一式表 x（或 y），代入另一式。
$$D=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$$$$x=\frac{c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{D}$$$$y=\frac{a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{D}$$使用說明
- 選擇解法（消去法 / 代入法）。
- 輸入兩式的六個係數/常數。
- 系統給交點 (x, y)、行列式 D 與步驟。
聯立方程判定速查
| 行列式 D | Dₓ, D_y | 結論 |
|---|---|---|
| D ≠ 0 | — | 唯一解（相交） |
| D = 0 | 不全為 0 | 無解（平行） |
| D = 0 | 皆為 0 | 無限解（重合） |
Dₓ = c₁b₂ − c₂b₁，D_y = a₁c₂ − a₂c₁。
情境案例
x+y=5, 2x−y=1
D = 1·(−1) − 2·1 = −3。
x = (5·(−1) − 1·1)/(−3) = 2；y = (1·1 − 2·5)/(−3) = 3。
交點 (2, 3)。
x+y=3, 2x+2y=7（平行）
D = 1·2 − 2·1 = 0，且 Dₓ≠0 ⇒ 兩線平行，無解。
常見問題
D = 0 是什麼意思？
兩直線平行或重合：D=0 且 Dₓ,D_y 不全為 0 時無解；三者皆 0 時無限多解（同一條線）。
消去法和代入法哪個好？
係數易湊相同時用消去法；某式易表出單一變數時用代入法。結果相同。
和一次方程的差別？
一次方程只有一個未知數；聯立是兩個未知數、兩條方程，求同時滿足的解。
交點代表什麼？
在座標平面上，兩直線的交點 (x, y) 即同時滿足兩式的點。
小數係數可以嗎？
可以，計算以浮點進行，結果顯示 4 位小數。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。克拉瑪公式、消去法與代入法步驟已驗證。