一元二次方程（Quadratic）求解器
輸入 ax²+bx+c=0 的係數 a, b, c，自動計算根 x₁, x₂、判別式 Δ、頂點與複數根，並繪製拋物線圖。
輸入資料
計算結果
拋物線 y = 1x² + -3x + 2
圖表解讀：圖中拋物線 y = ax²+bx+c 的對稱軸為 x = h，開口方向由 a 的正負決定（a>0 向上、a<0 向下），頂點即函數極值點。
重點速覽：一元二次方程為 ax²+bx+c=0（a≠0）。判別式 Δ=b²−4ac：Δ>0 得兩相異實根、Δ=0 得重根、Δ<0 得共軛複根 −b/2a ± i·√|Δ|/2a。頂點 (h,k) 中 h=−b/2a、k=−Δ/4a 即拋物線的最高/最低點。
計算公式
判別式：Δ = b² − 4ac。
求根公式：x = (−b ± √Δ) / (2a)。
頂點：h = −b / (2a)，k = f(h) = −Δ / (4a) = c − b² / (4a)。
Δ<0（無實根）：x = −b/(2a) ± i·√|Δ|/(2a)。
$$\Delta = b^{2} - 4ac$$$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$$$h = -\frac{b}{2a},\quad k = -\frac{\Delta}{4a}$$使用說明
- 輸入二次項係數 a（a 不可為 0）。
- 輸入一次項係數 b 與常數項 c。
- 系統即時給出兩根 x₁, x₂、判別式 Δ、頂點 (h,k)，並在 Δ<0 時以說明列出共軛複數根。
- 可參考下方情境案例，檢查自己的計算過程或驗證答案。
常見一元二次方程範例（根與頂點速查）
| 方程 ax²+bx+c=0 | Δ | x₁ | x₂ | 頂點 (h, k) |
|---|---|---|---|---|
| x² − 3x + 2 = 0 | 1 | 2 | 1 | (1.5, −0.25) |
| x² + 2x + 1 = 0 | 0 | −1 | −1 | (−1, 0) |
| x² + x + 1 = 0 | −3 | −0.5 | ±0.8660i | (−0.5, 0.75) |
| 2x² − 4x − 6 = 0 | 64 | 3 | −1 | (1, −8) |
| x² − 4 = 0 | 16 | 2 | −2 | (0, −4) |
| 3x² + 6x = 0 | 36 | 0 | −2 | (−1, −3) |
Δ<0 時 x₂ 以 ±bi 形式表示共軛複數根的虛部；其他為實根。
情境案例
x² − 3x + 2 = 0（兩實根）
Δ = (−3)² − 4·1·2 = 9 − 8 = 1 > 0。
x = (3 ± √1) / 2 = (3 ± 1) / 2 → x₁ = 2，x₂ = 1。
頂點 h = 3/2 = 1.5，k = −Δ/4a = −1/4 = −0.25，拋物線開口向上、最低點在 (1.5, −0.25)。
x² + 2x + 1 = 0（重根）
Δ = 2² − 4·1·1 = 4 − 4 = 0。
x = −2 / 2 = −1，為二重根（重根）。
頂點即為 (−1, 0)，拋物線與 x 軸相切。
x² + x + 1 = 0（共軛複根）
Δ = 1² − 4·1·1 = 1 − 4 = −3 < 0，無實根。
實部 = −b/2a = −0.5；虛部 = √|Δ|/2a = √3/2 ≈ 0.8660。
共軛複數根：x = −0.5 ± 0.8660 i。
2x² − 4x − 6 = 0（a ≠ 1）
Δ = (−4)² − 4·2·(−6) = 16 + 48 = 64。
x = (4 ± √64) / 4 = (4 ± 8) / 4 → x₁ = 3，x₂ = −1。
頂點 h = 4/4 = 1，k = −64/8 = −8。
拋物運動：高度 h(t) = −5t² + 20t + 2 = 0
令 a=−5, b=20, c=2，求落地時間（h=0）。
Δ = 20² − 4·(−5)·2 = 400 + 40 = 440；√440 ≈ 20.976。
t = (−20 ± 20.976) / (−10) → 取正根 t ≈ 4.098 秒落地；頂點 t = 2 秒時最高。
常見問題
a = 0 時怎麼辦？
此時方程降為一次方程 bx + c = 0，本工具要求 a≠0。請改用一次方程求解器，或設定極小的 a 值近似。
判別式 Δ 代表什麼？
Δ = b² − 4ac 決定根的性質：Δ>0 兩相異實根、Δ=0 重根、Δ<0 無實根（有共軛複根）。它由求根公式開根號內的式子而來。
複數根有什麼意義？
實係數二次方程在 Δ<0 時根為共軛複數。物理上常表示無實際交點，例如拋物線始終在 x 軸上方、不與地面相交。
頂點和根有什麼關係？
頂點橫座標 h = −b/2a 恰為兩實根的中點。若兩根為 r₁, r₂，則 h = (r₁+r₂)/2，並可由根反推因式分解 a(x−r₁)(x−r₂)=0。
為什麼要算頂點？
頂點 (h,k) 是拋物線 y = ax²+bx+c 的最高或最低點，對應函數極值。應用於最優化（最大獲利、最小成本）與拋物運動的射高/射程分析。
浮點誤差如何處理？
結果取到小數第 4 位。當 Δ 接近 0 時，可能因浮點誤差被誤判為正或負，建議將 |Δ| 在 ±0.0001 內視為重根。
頂點和拋物線開口方向？
a>0 拋物線開口向上，頂點為最小值；a<0 開口向下，頂點為最大值。對稱軸皆為垂直線 x = h。
如何由根反推原方程？
若已知兩根 r₁, r₂，則方程可寫為 a(x−r₁)(x−r₂)=0，展開後比較係數即可還原 a, b, c。
和拋物線圖怎麼對照？
本工具繪製的拋物線 y = ax²+bx+c，其 x 截距即方程的實根；圖中最低/最高點即頂點 (h,k)。Δ<0 時拋物線不與 x 軸相交。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。求根公式、判別式三情形與頂點公式均已驗證。