可分離微分方程（dy/dx = g(x)·h(y)）求解器
輸入 dy/dx = g(x)·h(y)、初值 y(x₀)=y₀ 與目標 x，以 RK4 數值求特解 y(x)，並給出分離形式。
輸入資料
計算結果
重點速覽：可分離微分方程形如 dy/dx = g(x)·h(y)。分離變數得 dy/h(y) = g(x)dx，兩邊積分 ∫dy/h(y) = ∫g(x)dx + C 即得通解；代初值 y(x₀)=y₀ 定出常數 C 得特解。本工具另以 RK4 法數值求特解 y(x)。
計算公式
分離：dy / h(y) = g(x) dx。
積分：∫ dy/h(y) = ∫ g(x) dx + C。
數值（RK4）：y_{n+1} = y_n + (h/6)(k₁+2k₂+2k₃+k₄)。
常見：dy/dx = k·y → y = y₀ e^{k(x−x₀)}。
$$\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y)$$$$\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx + C$$使用說明
- 輸入 g(x)（x 的表達式）與 h(y)（y 的表達式）。
- 輸入初值 (x₀, y₀) 與目標 x。
- 系統以 RK4 求特解 y(目標 x)，並給出分離形式。
- 下方案例示範解析特解，可與數值對照。
常見可分離方程特解
| 方程 | 特解（y(x₀)=y₀） | 備註 |
|---|---|---|
| dy/dx = y | y = y₀ e^{x−x₀} | 指數成長 |
| dy/dx = k y | y = y₀ e^{k(x−x₀)} | k<0 衰變 |
| dy/dx = x/y | y = √(x² + y₀²) | 隱式平方 |
| dy/dx = x y | y = y₀ e^{(x²−x₀²)/2} | 高斯型 |
RK4 為數值法；若解析特解簡單，請以解析值為準對照。
情境案例
dy/dx = y，y(0)=1
分離：dy/y = dx → ln|y| = x + C。
特解：y = eˣ；x=1 時 y=e ≈ 2.718282。
dy/dx = k·y（衰變）
通解 y = C e^{kx}；由 y(0)=y₀ 得 y = y₀ e^{kx}。
k<0 為指數衰變（如放射、冷卻）。
dy/dx = x/y，y(0)=1
分離：y dy = x dx → y²/2 = x²/2 + C。
特解：y² = x² + 1 → y = √(x²+1)；x=1 時 y=√2≈1.414214。
dy/dx = x·y，y(0)=1
dy/y = x dx → ln y = x²/2 + C。
特解 y = e^{x²/2}；x=1 時 y=e^{0.5}≈1.648721。
dy/dx = 2x（h(y)=1）
dy = 2x dx → y = x² + C。
y(0)=1 → y = x²+1；x=2 時 y=5。
邏輯斯成長 dy/dx = r y (1−y/K)
h(y)=y(1−y/K) 非簡單可分離積分；本工具以 RK4 數值求解。
解趨近承載力 K（S 形曲線）。
常見問題
什麼是可分離微分方程？
若 dy/dx 可寫成 g(x)·h(y)（x 與 y 部分可分開），即可分離變數兩邊各積分求解。這是最基礎的一階微分方程類型。
RK4 是什麼？
四階龍格—庫塔法是高精度數值積分方法，用四個斜率加權推進 y，誤差約與步長⁴次方成正比，比歐拉法精確。
通解與特解差別？
通解含任意常數 C（代表一族曲線）；代入初值 (x₀,y₀) 定出 C 即得唯一的特解。
數值解與解析解不符？
RK4 本身很準；若偏差大，可能方程在你的區間發散（如 y 爆炸）或表達式有誤。請檢查初值與函數定義域。
h(y)=0 會怎樣？
若 h(y)=0，則 dy/dx=0，y 為常數；分離時出現除以 0，工具會給出常數解提示。
可以解非可分離方程嗎？
本工具限定可分離形式 dy/dx=g(x)h(y)。線性、恰當、伯努利等需其他解法，不在本版範圍。
dy/dx = k y 的意義？
這是成長/衰變模型：k>0 指數成長（人口、細菌），k<0 指數衰變（放射性、冷卻），半衰期 t½=ln2/|k|。
初值 x₀ 必須小於目標 x 嗎？
不必。RK4 可向前或向後積分；若向後（xTarget<x₀）仍正確推進，適用於回溯軌跡。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。分離形式與 RK4 數值特解邏輯已驗證。