因式分解與多項式（Polynomial）計算器
對二次/三次多項式做交叉相乘因式分解，並用餘式定理求 P(k) 與因子定理驗證。
輸入資料
計算結果
重點速覽：因式分解把多項式寫成較低次因式的乘積。二次可用交叉相乘法：找兩組因數分別湊出 a 與 c，且交叉乘積和為 b。餘式定理：多項式 P(x) 除以 (x−k) 的餘式等於 P(k)；若 P(k)=0，則 (x−k) 為因式（因子定理）。三次多項式可用有理根定理試根後降次為二次再分解。
計算公式
二次交叉相乘：a = p·s, c = q·r, 且 p·r + q·s = b ⇒ (p x + q)(s x + r)。
餘式定理：除以 (x−k) 的餘式 = P(k)（以綜合法 Horner 計算）。
因子定理：P(k)=0 ⇔ (x−k) 是 P(x) 的因式。
三次降次：P(x) = (x−r)(A x² + B x + C)，其中係數由綜合法求得。
$$P(x) = (px+q)(sx+r)$$$$P(k) = \text{remainder of } P(x) \div (x-k)$$$$P(k)=0 \;\Rightarrow\; (x-k)\mid P(x)$$使用說明
- 選擇次數（二次 / 三次）。
- 輸入整數係數 a, b, c（三次再加 d）。
- 輸入 k 以套用餘式定理，求 P(k) 與判斷 (x−k) 是否為因式。
- 系統輸出因式分解結果與逐步計算過程。
常見二次因式分解速查
| 多項式 | 分解 | 備註 |
|---|---|---|
| x²−3x+2 | (x−1)(x−2) | Δ=1 |
| x²−5x+6 | (x−2)(x−3) | Δ=1 |
| x²+x−6 | (x+3)(x−2) | Δ=25 |
| 2x²+5x+3 | (2x+3)(x+1) | 交叉相乘 |
| x²−4 | (x−2)(x+2) | 平方差 |
實係數二次若 Δ<0 則在實數範圍內不可分解（irreducible）。
情境案例
x² − 3x + 2（交叉相乘）
a=1, c=2，找 q·r=2 且 p·r+q·s=−3。
取 p=1, s=1, q=−1, r=−2：(1)(−2)+(−1)(1)=−3 ✓。
故 x²−3x+2 = (x−1)(x−2)。
2x² + 5x + 3
a=2, c=3：p=2, s=1, q=3, r=1 → p·r+q·s = 2+3 = 5 ✓。
故 2x²+5x+3 = (2x+3)(x+1)。
x³ − 6x² + 11x − 6（試根）
試 r=1：P(1)=1−6+11−6=0 ⇒ (x−1) 為因式。
綜合法降次得 x²−5x+6 = (x−2)(x−3)。
故 x³−6x²+11x−6 = (x−1)(x−2)(x−3)。
餘式定理：P(x)=x³−2x+1 求 P(2)
綜合法：係數 [1,0,−2,1]，k=2。
acc: 1 → 2 → 2 → 5，故 P(2)=5。
餘式為 5，因 P(2)≠0，(x−2) 不是因式。
常見問題
交叉相乘法怎麼下手？
先列出 a 的因數對 (p,s) 與 c 的因數對 (q,r)，再檢查交叉乘積 p·r + q·s 是否等於 b。熟練後可直接心算湊數。
什麼時候用餘式定理？
當要快速求 P(k)（除以 x−k 的餘式）或驗證 (x−k) 是否為因式時使用；P(k)=0 即為因子定理。
三次多項式如何分解？
先用有理根定理試整數根 r（常數項因數），找到後用綜合法降次為二次，再對二次做交叉相乘。
係數必須是整數嗎？
本工具針對整數係數做交叉相乘與整數試根；小數係數請先化為整數（同乘 10ⁿ）後再輸入。
Δ<0 的二次能分解嗎？
在實數範圍內不能分解；若允許複數，可用求根公式寫成 (x−r₁)(x−r₂)，其中 r₁,r₂ 為共軛複根。
和質因數分解的差別？
質因數分解是把「整數」拆成質數乘積；本工具是把「多項式」拆成一次/二次因式，對象不同。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。交叉相乘、綜合法與餘式定理步驟已驗證。