複利利率計算器
由本金、最終結餘與年期反推複利年利率 (支援連續複利)。
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計算結果
重點速覽：複利利率計算器由本金 (PV)、最終結餘 (FV)、年期與複利頻率『反推』出投資或存款的複利年利率。離散複利以 $r = m\times((FV/PV)^{1/(mt)}-1)$ 求解名目年利率，連續複利則以 $r=\ln(FV/PV)/t$ 求解，並可進一步換算成能反映真實年回報的有效年利率 (EAR)。
計算公式
離散複利模型：FV = PV × (1 + r/m)^(m·t)，反解得 r = m × ((FV/PV)^(1/(m·t)) − 1)。
連續複利模型：FV = PV × e^(r·t)，反解得 r = ln(FV/PV) ÷ t。
有效年利率 EAR = (1 + r/m)^m − 1 (離散) 或 e^r − 1 (連續)。
$$離散複利反推：$r=m\left(\left(\dfrac{FV}{PV}\right)^{\frac{1}{mt}}-1\right)$$$$$連續複利反推：$r=\dfrac{\ln(FV/PV)}{t}$$$$$有效年利率：$EAR=\left(1+\dfrac{r}{m}\right)^{m}-1$ (離散) 或 $EAR=e^{r}-1$ (連續)$$使用說明
- 輸入初始本金與到期時的最終結餘。
- 輸入年期並選擇複利頻率 (可選連續複利)。
- 即時得出名目年利率與有效年利率 (EAR)。
PV 1,000 → FV 2,000、10 年，不同複利頻率下反推的名目年利率與 EAR
| 複利頻率 | 名目年利率 | 有效年利率 (EAR) |
|---|---|---|
| 每年 (m=1) | 約 7.1773% | 約 7.1773% |
| 每月 (m=12) | 約 6.9515% | 約 7.1773% |
| 連續複利 | 約 6.9315% | 約 7.1773% |
| PV 10,000→15,000 / 5 年 / 每季 | 約 8.1921% | 約 8.4472% |
情境案例
案例一：反推十年翻倍的年化複利利率
某投資十年前投入 HK$1,000，如今結餘 HK$2,000 (剛好翻倍)，以每年複利一次計算，想知道這相當於多少年化複利利率。
名目年利率 = 1 × ((2,000 ÷ 1,000)^(1 ÷ (1 × 10)) − 1) = 2^0.1 − 1 ≈ 7.1773%；因每年複利一次，EAR 與名目利率相同，約 7.18%。
解讀：這符合著名的『72 法則』直覺——本金翻倍所需年數 × 年利率 ≈ 72，即 10 年翻倍對應約 7.2% 的年利率，與精算出的 7.18% 非常接近。反推利率讓你把一筆『投入多少、變成多少、花了幾年』的投資，換算成可比較的年化複利回報。
案例二：複利頻率如何影響名目利率與 EAR
同樣 10 年由 HK$1,000 增至 HK$2,000，但分別以『每年』與『每月』複利計算：每年複利名目利率約 7.1773%,每月複利名目利率約 6.9515%。
然而兩者的有效年利率 (EAR) 都約 7.1773%——因為最終同樣是翻倍，實際年回報必然相同。差別只在名目利率的『報價方式』:複利頻率越高，達成同一 EAR 所需的名目利率越低。
解讀：這帶出一個實用提醒——比較不同存款或投資產品時，不能只看名目利率的數字大小，因為它們的複利頻率可能不同。應該統一換算成 EAR 再比較，才能公平反映真實的年回報。這正是本計算器同時輸出名目利率與 EAR 的原因。
常見問題
名目年利率和有效年利率 (EAR) 有何分別？
名目年利率未計及複利效果，只把每期利率乘以複利次數；有效年利率 (EAR) 則反映複利後的實際年回報。複利頻率越高，EAR 高於名目利率越明顯。
甚麼是連續複利？
連續複利假設利息在每一瞬間都即時再投資，是複利頻率趨向無限大的極限情況，以自然指數 e 計算。它是所有複利頻率中回報最高的理論上限。
為何本金和結餘都要大於 0？
反推利率需要計算 FV/PV 的比率並開方或取對數，若本金或結餘為 0 或負數，數學上無法得出有效的複利利率。
反推利率和一般複利計算有何不同？
方向剛好相反。一般的複利計算是『已知利率，求最終結餘』——你輸入本金、利率、年期，算出將來會滾存到多少錢 (正向計算 FV)。而複利利率計算器是『已知結果，反推利率』——你輸入本金 (PV)、最終結餘 (FV) 與年期，反推出這段期間相當於多少年化複利利率。這在實務上非常有用：很多時候你手上有的是『投入了多少、最後變成多少、經過幾年』這些已知數字 (例如一筆基金、一份保單、一項生意),但不知道它的年化回報率究竟是多少，這時就需要反推利率。數學上，反推需要計算 FV/PV 的比率再開方 (離散) 或取對數 (連續),因此本金與結餘都必須大於 0，否則無法得出有效的複利利率。
連續複利為什麼名目利率最低？它是最划算的嗎？
先釐清一個常見誤解：在『反推利率』的情境下，連續複利的名目利率最低，並不代表它回報最差或最划算，而只是報價方式不同。原理是這樣：複利頻率越高，利息滾存的次數越多，複利效果越強，因此要達到『同一個最終結餘』所需的名目利率就越低。連續複利是複利頻率趨向無限大的極限情況 (每一瞬間都即時再投資),複利效果最強，所以反推出的名目利率在所有頻率中最低。但關鍵在於：不論用哪種複利頻率，只要最終結餘與年期相同，換算出的『有效年利率 (EAR)』都完全一樣——因為 EAR 反映的是真實的年回報，而真實回報由最終結果決定，與報價方式無關。因此比較不同產品時，務必看 EAR 而非名目利率。連續複利只是理論上的複利上限，實際金融產品多以離散複利 (每年、每月等) 運作。本計算器同時提供兩種模型與 EAR，方便你正確比較。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義財經團隊。計算邏輯與公式參考香港金融管理局（HKMA）及投資者及理財教育委員會（IFEC）之個人理財計算指引，結果僅供參考，實際以相關機構公佈為準。