斯托克斯沉降速度計算器
輸入顆粒直徑 d、顆粒與流體密度及動力黏度 μ，依斯托克斯定律 vs = g·d²·(ρp−ρf)÷(18μ) 算出終端沉降速度。
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計算結果
重點速覽：斯托克斯定律（Stokes' law）描述『微小球形顆粒在黏性流體中緩慢沉降時的終端速度』。當一顆比流體重的顆粒放入靜止流體，重力使它下沉，但流體的黏性阻力隨速度增大而增大；當阻力、浮力與重力三者平衡時，顆粒不再加速，以固定速度勻速下沉，這個速度就是『終端沉降速度 vs』。對非常小、沉降緩慢（低雷諾數）的球形顆粒，斯托克斯給出：vs = g × d² × (ρp − ρf) ÷ (18 × μ)，其中 vs 是終端沉降速度（m/s）、g 是重力加速度（9.81 m/s²）、d 是顆粒直徑（m）、ρp 是顆粒密度、ρf 是流體密度（kg/m³）、μ 是流體動力黏度（Pa·s）。逐項解釋。分子 g·d²·(ρp−ρf) 是驅動下沉的『有效重力』：(ρp−ρf) 是扣除浮力後的淨密度差，密度差愈大沉得愈快；d² 說明沉速與顆粒直徑平方成正比——粒徑加倍，沉速快四倍，這也是為何粗砂沉得快、細泥沉得極慢。分母 18μ 是黏性阻力項：流體愈黏（μ 大），沉降愈慢。舉例，顆粒直徑 d = 0.0001 m（100 μm 的細砂）、ρp = 2650、ρf = 1000 kg/m³、μ = 0.001 Pa·s：vs = 9.81 × 0.0001² × (2650−1000) ÷ (18 × 0.001) = 9.81 × 1e-8 × 1650 ÷ 0.018 ≈ 0.0089925 m/s（約 9 mm/s）。用途：其一，沉澱池與淨水設計——由目標去除粒徑算沉速，據以定池深、停留時間與表面負荷；其二，土壤粒徑分析（吸管法、比重計法）——依斯托克斯定律由沉降時間反推粒徑分布；其三，泥沙輸移與河湖淤積分析；其四，離心分離、氣溶膠沉降的估算。使用斯托克斯定律與本工具要注意幾點：一是它只適用『低雷諾數』（顆粒雷諾數 Re<1，即很小、很慢的顆粒），粗大或快速顆粒會進入過渡／紊流拖曳區，須改用其他拖曳係數公式，否則會高估沉速；二是假設顆粒為『剛性球形』且彼此不干擾（稀懸浮），高濃度時有沉降絮凝與阻滯效應；三是 μ 隨溫度變化，須用當時水溫的值；四是若 ρp<ρf（顆粒比流體輕）則 vs 為負代表上浮，本工具此時截為 0；五是單位須一致（d 用 m、密度用 kg/m³、μ 用 Pa·s）。總之，斯托克斯沉降速度 vs=g·d²·(ρp−ρf)/(18μ)，是低雷諾數球形顆粒的終端沉速，為沉澱池設計與粒徑分析的基礎公式。
計算公式
斯托克斯定律：vs = g × d² × (ρp − ρf) ÷ (18 × μ)，g = 9.81。
d 顆粒直徑(m)、ρp/ρf 顆粒/流體密度(kg/m³)、μ 動力黏度(Pa·s)。
僅適用低雷諾數（顆粒 Re<1）的小而慢的球形顆粒。
$$v_s = \dfrac{g\,d^{2}\,(\rho_p - \rho_f)}{18\,\mu}$$使用說明
- 填入球形顆粒直徑 d（m；100 μm = 0.0001 m）。
- 填入顆粒密度 ρp、流體密度 ρf（kg/m³）與動力黏度 μ（Pa·s）。
- 系統依斯托克斯定律算出終端沉降速度 vs。
石英砂於 20°C 清水（ρp2650、ρf1000、μ0.001）不同粒徑的沉速
| 顆粒直徑 d | 沉降速度 vs (m/s) | 折合 mm/s | 備註 |
|---|---|---|---|
| 20 μm | 0.00035970 | 0.360 | 粉砂 |
| 50 μm | 0.00224813 | 2.248 | |
| 100 μm | 0.00899250 | 8.993 | 本例 細砂 |
| 200 μm | 0.03597000 | 35.970 | Re 漸大，斯托克斯偏高估 |
| 10 μm | 0.00008993 | 0.090 | 黏土/膠體沉得極慢 |
vs 與 d² 成正比：粒徑加倍沉速快四倍。粒徑約 >100 μm 後顆粒雷諾數增大，斯托克斯開始高估，須改用拖曳係數修正。
理財情境案例
沉澱池去除細砂
細砂 d = 100 μm（0.0001 m）、ρp = 2650、水 ρf = 1000、μ = 0.001。
vs = 9.81 × 1e-8 × 1650 ÷ 0.018 ≈ 0.00899 m/s（約 9 mm/s）。
若沉澱池水深 2 m，理論沉降時間 ≈ 2 ÷ 0.009 ≈ 222 s，據此定停留時間與表面負荷。
黏土膠體幾乎不沉
黏土顆粒 d = 10 μm（0.00001 m），其餘同上。
vs = 9.81 × 1e-10 × 1650 ÷ 0.018 ≈ 0.00009 m/s（0.09 mm/s）。
沉降極慢（每小時僅約 0.32 m），故細懸浮物須靠混凝絮凝加大等效粒徑才能有效沉降。
常見問題
為什麼粒徑加倍，沉速卻快四倍？
因為斯托克斯沉速與顆粒直徑的平方成正比（vs∝d²）。公式分子有 d² 這一項，所以直徑變 2 倍時 d² 變 4 倍，沉速也隨之變 4 倍。物理上，較大顆粒的『有效重力（∝體積∝d³）』增長比黏性阻力（斯托克斯阻力∝d·v）快，平衡後速度大幅提高。這個 d² 關係解釋了粒徑分級沉降的核心現象：粗砂幾秒就沉底，細粉砂要幾分鐘，而黏土膠體幾乎懸浮不沉——沉澱池能輕鬆去除大顆粒卻對細懸浮物無能為力，正是這個原因。
斯托克斯定律什麼時候會失準？
當『顆粒雷諾數』變大時。斯托克斯定律的前提是低雷諾數層流拖曳（顆粒 Re=ρf·vs·d/μ 遠小於 1），此時阻力與速度成正比。當顆粒較大或較重、沉得較快，Re 升高（約 >1）後進入過渡區，真實阻力比斯托克斯預測的大，公式會『高估』沉速。粗略地說，水中石英砂約 d>100~200 μm 就開始明顯偏差，此時須改用含拖曳係數 Cd 的通用沉降公式（vs=√(4g·d·(ρp−ρf)/(3·Cd·ρf))）並迭代。所以本工具適用細小顆粒的緩慢沉降。
動力黏度 μ 和運動黏度 ν 有何不同？
動力黏度 μ（單位 Pa·s 或 N·s/m²）直接量度流體的『內摩擦』；運動黏度 ν（單位 m²/s）是動力黏度除以密度，ν=μ/ρ。斯托克斯公式用的是『動力黏度 μ』（出現在分母 18μ）。20°C 清水的 μ≈0.001 Pa·s（=1 cP）、ν≈1.004×10⁻⁶ m²/s。兩者都隨溫度顯著變化——水溫升高，μ 減小，沉速加快。若你手上的資料是運動黏度 ν，須乘流體密度 ρf 換成 μ 再代入（μ=ν·ρf）。本工具的黏度欄請填動力黏度 μ（Pa·s）。
顆粒比水輕會怎樣？
當顆粒密度小於流體密度（ρp<ρf），公式中的密度差 (ρp−ρf) 為負，算出的 vs 為負值，物理意義是顆粒『上浮』而非下沉——例如油滴、氣泡或某些有機質在水中會浮升，同樣可用斯托克斯定律（取絕對值）估計上浮速度。本工具在 ρp<ρf 時將結果截為 0，因為它設計用於估算『沉降』；若要算上浮速度，可把顆粒與流體的密度角色理解為淨浮力驅動，速度大小仍由 |ρp−ρf| 決定。多數泥沙、砂粒 ρp≈2650>1000 都是下沉情形。
怎麼用它做土壤粒徑分析？
沉降法（吸管法、比重計法）正是斯托克斯定律的應用。把土壤分散在水中成懸浮液，不同粒徑的顆粒依斯托克斯沉速分層沉降——粗顆粒先沉、細顆粒後沉。在固定深度、固定時間取樣或量比重，就能由『沉降時間對應的粒徑』（把公式反解 d=√(18μ·vs/(g(ρp−ρf)))，vs=深度/時間）推算出各粒徑級的含量，得到粒徑分布曲線，據以判定砂、粉砂、黏土比例與土壤質地。這是土壤學與沉積學的標準方法，前提同樣是顆粒夠小、沉降處於斯托克斯區。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。vs = g·d²(ρp−ρf)/(18μ)，僅適用低雷諾數球形顆粒。