置信區間計算器
輸入樣本均值、標準差、樣本數與置信水平，求置信區間、邊際誤差與標準誤。統計分析、市場調查必備。
輸入資料
計算結果
重點速覽：置信區間（Confidence Interval）在給定置信水平（如 95%）下，給出總體均值的一個估計區間。對大樣本（或總體變異已知時），樣本均值的抽樣分佈近似常態，標準誤為 SE = s/√n。置信區間為 x̄ ± z·SE，其中 z 是標準常態分佈對應置信水平的臨界值（例如 90%→1.645、95%→1.960、99%→2.576）。「95% 置信」的含義是：若重複抽樣並每次計算區間，約 95% 的區間會包含總體真值。
計算公式
標準誤：SE = s ÷ √n
邊際誤差：E = z × SE
置信區間：CI = x̄ ± E，即 [x̄ − E, x̄ + E]
例：x̄=500、s=80、n=100、95% → SE=8、E≈15.68、CI=[484.32, 515.68]
$$SE = \frac{s}{\sqrt{n}}$$$$E = z_{\alpha/2} \cdot SE$$$$CI = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$使用說明
- 輸入樣本均值 x̄。
- 輸入樣本標準差 s。
- 輸入樣本數 n。
- 選擇置信水平（90%、95%、99% 等）。
- 系統輸出 z 分數、標準誤、邊際誤差與區間上下限。
常見置信水平對應的 z 分數
| 置信水平 | z 分數 | 邊際誤差倍數 |
|---|---|---|
| 80% | 1.282 | 1.28 SE |
| 90% | 1.645 | 1.65 SE |
| 95% | 1.960 | 1.96 SE |
| 98% | 2.326 | 2.33 SE |
| 99% | 2.576 | 2.58 SE |
| 99.9% | 3.291 | 3.29 SE |
z 分數為標準常態分佈的雙側臨界值。置信水平越高、z 越大，區間越寬。
理財情境案例
市場調查與品質
產品平均重量 x̄=500g、s=80g、n=100 → 95% 區間 [484.3, 515.7]g。
客戶滿意度平均分 7.8、標準差 1.2、樣本 400 → 99% 區間約 [7.65, 7.95]。
品質控制：若規格下限低於區間下限，製程可能不達標。
研究與決策
醫學研究：藥效平均改善時長與 95% 區間。
民意調查：支持率換算為均值型區間以報告誤差範圍。
增大樣本數可縮窄區間，提升估計精度。
常見問題
「95% 置信」到底是甚麼意思？
不是「總體均值有 95% 機率落在區間內」。正確解讀：若以同一方法重複抽樣並計算區間，約 95% 的區間會包含總體真值。這是方法層面的可靠性，而非單一區間的概率。
樣本數對區間有甚麼影響？
標準誤 s/√n 與樣本數的平方根成反比：樣本數增至 4 倍，標準誤減半，區間縮窄一半。因此調查需要足夠樣本才夠精確。
樣本小（n<30）時公式還適用嗎？
若總體分佈接近常態，小樣本應改用 t 分佈（自由度 n−1）而非 z 分數。本計算器使用 z 分數，適合大樣本（n≥30）或總體標準差已知的情況。
為甚麼 99% 區間比 95% 寬？
更高的置信水平需要涵蓋更多抽樣結果，因此臨界值 z 更大（2.576 vs 1.960），區間隨之加寬。換言之，更「有把握」的代價是更不精確。
區間上下限可以為負嗎？
可以。若樣本均值接近 0 且標準誤較大，下限可能為負。這表示數據本身允許負值；若數據天生非負（如重量、時間），應改用適合的統計方法。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。置信區間公式、z 分數臨界值與抽樣分佈驗證。