生日悖論計算器
輸入人數，求至少兩人生日相同的機率。23 人已超過 50%，50 人高達 97%！
輸入資料
計算結果
重點速覽：生日悖論（Birthday Paradox）研究一群人中至少兩人同日出生的機率。直覺上，要令機率超過 50% 似乎需要約 183 人（一年日數的一半），但實際只需 23 人。原因是需要考慮所有「兩兩組合」：23 人共有 C(23,2) = 253 對，只要有任意一對生日相同即命中。數學上，n 人全部生日不同的機率為 P(無重複) = 365!÷[(365−n)!×365ⁿ]，因此至少一對相同的機率為 1 − P(無重複)。
計算公式
設 n 為人數、d 為一年日數：
P(全部不同) = d! ÷ [(d−n)! × dⁿ]
P(至少一對相同) = 1 − P(全部不同)
例：n=23、d=365 → P ≈ 50.7%
$$P(\text{match}) = 1 - \frac{d!}{(d-n)!\,d^n}$$使用說明
- 輸入群體人數 n。
- 選擇一年日數（365 或 366）。
- 系統計算全部不同與至少一對相同的機率。
- 人數越多，機率增長越快；50 人已達 97%。
人數與「至少兩人生日相同」機率對照（365 天）
| 人數 | 機率 |
|---|---|
| 10 | 11.7% |
| 20 | 41.1% |
| 23 | 50.7% |
| 30 | 70.6% |
| 40 | 89.1% |
| 50 | 97.0% |
| 70 | 99.9% |
機率以 d=365 計算並四捨五入。人數超過 60 後機率已接近 100%。
理財情境案例
課室與辦公室
一班 30 名學生：至少兩人生日相同機率約 70.6%。
一個 50 人的辦公室：機率高達 97%，幾乎肯定有人同日生日。
公司 100 人：機率達 99.99997%，幾乎必然重複。
數據與安全
雜湊碰撞原理與生日悖論同源：n 個隨機值中出現碰撞的機率遠高於直覺。
這解釋了為何生日攻擊（birthday attack）可用於破解 64 位元密碼：只需約 2³² 次嘗試。
工程設計分組時，可善用此原理估算重複發生的風險。
常見問題
為什麼 23 人就有超過一半機率？
23 人共有 C(23,2) = 253 對「兩兩組合」，只要有任意一對同日生日即命中。253 對相比 365 個可能的生日，機率自然不低。直覺上只考慮「指定某日」，忽略了大量配對。
這是真正的悖論嗎？
不是。它只是違反直覺的機率現象，數學上完全成立。「悖論」之名源於結果與多數人直覺嚴重不符。
需要多少人才有 99% 機率？
約 57 人（d=365）。60 人約 99.4%，75 人約 99.97%。
閏年（366 天）有影響嗎？
影響很小。以 30 人為例：365 天約 70.6%，366 天約 70.3%，差距不足 1 個百分點。
生日悖論在電腦科學中有何應用？
它用於分析雜湊函數碰撞：給定 k 個隨機輸入，只需約 √(2ⁿ) 次嘗試即可能產生碰撞，這正是生日攻擊的原理，也是為何 64 位元雜湊不足以抵抗此類攻擊。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。生日悖論機率公式、階乘與組合計數驗證。