貝氏定理計算器
輸入 P(A)、P(B)、P(B|A)，求貝氏定理後驗機率 P(A|B)。醫學檢測、垃圾郵件過濾、決策分析必備。
輸入資料
計算結果
重點速覽：貝氏定理（Bayes' Theorem）描述了條件機率之間的關係：P(A|B) = P(B|A)×P(A)÷P(B)。它允許我們從「在 A 條件下 B 的機率」與 A、B 各自的邊緣機率，推算出「在 B 條件下 A 的機率」。這在直覺上常被誤判——最著名的例子是疾病篩檢：即使檢測靈敏度高達 95%，若患病率只有 1%，檢測陽性者真正患病的機率（後驗機率）也遠低於 95%，因為分母 P(B) 包含了大量「未患病但誤判為陽性」的人。
計算公式
貝氏定理：
P(A|B) = [P(B|A) × P(A)] ÷ P(B)
其中：P(A) 為先驗機率、P(B|A) 為似然、P(A|B) 為後驗機率。
例：P(A)=1%、P(B)=2%、P(B|A)=95% → P(A|B) = 0.95×0.01÷0.02 = 47.5%
$$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$$使用說明
- 輸入先驗機率 P(A)（例如患病率）。
- 輸入 P(B)（例如檢測陽性比例）。
- 輸入似然 P(B|A)（例如檢測靈敏度）。
- 系統以貝氏定理計算後驗機率 P(A|B)。
- P(B) 不可為 0；若為 0，後驗機率無定義。
患病率對後驗機率的影響（靈敏度 95%、誤報 5%）
| 患病率 | 檢測陽性後患病機率 |
|---|---|
| 10% | 67.9% |
| 5% | 50.0% |
| 1% | 16.1% |
| 0.5% | 8.7% |
| 0.1% | 1.9% |
後驗機率 = 0.95×患病率 ÷ [0.95×患病率 + 0.05×(1−患病率)]。患病率越低，假陽性主導結果。
理財情境案例
醫學篩檢：假陽性的威力
患病率 1%、檢測靈敏度 95%、誤報率 5%：檢測陽性者真正患病的機率僅約 16.1%。
即使靈敏度達 99%，患病率僅 0.1% 時後驗機率仍只有約 9%。
這解釋了為何罕見病的陽性結果仍需覆檢——陽性不等於確診。
決策與分類
垃圾郵件過濾：已知垃圾郵件比例與「含特定關鍵字」的比例，反推含該關鍵字的郵件為垃圾郵件的機率。
貝氏分類器（Naive Bayes）正是建基於此原理。
法庭證據：已知犯罪率與目擊者可靠度，評估證詞的證據力。
常見問題
什麼是先驗機率與後驗機率？
先驗機率 P(A) 是在獲得新證據前對事件 A 的機率估計；後驗機率 P(A|B) 是在觀察到事件 B 後更新得到的機率。貝氏定理正是從先驗出發、結合似然與證據，更新出後驗的數學工具。
為什麼陽性檢測不代表一定患病？
因為檢測存在假陽性。患病率低時，未患病者的基數遠大於真正患病者，即使誤報率很低，假陽性的絕對數量仍可能超過真陽性。這就是貝氏定理揭示的「基準率忽視」謬誤。
P(B) 為 0 會怎樣？
貝氏定理的分母為 P(B)。若 P(B)=0 表示事件 B 不可能發生，此時條件機率 P(A|B) 無定義。本計算器在 P(B)=0 時回傳 0。
貝氏定理在機器學習中有何應用？
樸素貝氏分類器（Naive Bayes）利用貝氏定理與「特徵條件獨立」假設做文本分類、垃圾郵件過濾、情感分析等，是機器學習中最基礎而高效的演算法之一。
貝氏定理與頻率論有何不同？
貝氏統計允許把機率視為主觀信念並在獲取數據後更新；頻率論把機率視為長期頻率。貝氏定理同時被兩者接受，但在「先驗如何選擇」上兩派有不同哲學立場。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。貝氏定理條件機率公式、基準率謬誤案例驗證。