功函數計算器
輸入光子波長 λ 與光電子最大動能 KE，計算功函數 φ=hc/λ−KE 與極限頻率 ν0=φ/h。鈉 λ=400nm, KE=0.82eV → φ≈2.28eV, λ₀≈544nm；鎢 λ=200nm, KE=1.7eV → φ≈4.5eV。
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計算結果
重點速覽：功函數（work function，φ，符號 Φ）：金屬中電子逃逸至真空所需的最小能量（eV），等於真空能階與費米能階之差。光電效應（愛因斯坦 1905 年）：金屬表面受光照時電子吸收光子能量 hν 逸出，能量守恆 hν=φ+KE_max，故 φ=hν−KE=hc/λ−KE。當 hν<φ 時不發生光電效應，對應極限頻率 ν0=φ/h 與極限波長 λ0=hc/φ=c/ν0。光電效應三大特徵：(1) 存在極限頻率，低於 ν0 無論光強多大均不發射；(2) 光電子最大動能與光頻成正比、與光強無關；(3) 即時發射（<10⁻⁹s），無積累時間。這些無法用波動理論解釋，是光子說的關鍵證據。金屬 φ 範圍 2-6 eV：鹼金屬最低（銫 2.1、鉀 2.3、鈉 2.28），過渡金屬高（鋅 4.3、銀 4.26、銅 4.65、鐵 4.5、鎢 4.5、鉑 5.65、鎳 5.01）。功函數取決於表面（不同晶面值不同）、覆蓋層（Cs 降低鎢 φ 至 1.5 eV）、溫度（小變化）。經典例：鈉 λ=400nm、KE=0.82 eV → hν=hc/λ=1240/400=3.10 eV，φ=3.10−0.82=2.28 eV，λ0=1240/2.28=544 nm（黃綠光），ν0=φ·e/h=2.28×1.602e-19/6.626e-34=5.51×10¹⁴ Hz；鎢 λ=200nm、KE=1.7 eV → hν=1240/200=6.20 eV，φ=6.20−1.70=4.50 eV，λ0=1240/4.5=276 nm（紫外）。歷史：赫茲 1887 年發現光電效應；勒納 1902 年觀察極限頻率；愛因斯坦 1905 年提出光量子解釋獲 1921 年諾貝爾獎；密立根 1916 年精確驗證。應用：(1) 光電倍增管——檢測弱光；(2) 光伏打電池——太陽能發電；(3) 夜視儀——紅外光電陰極；(4) 電子槍——電子顯微鏡、CRT；(5) 表面分析——光電子能譜（XPS、UPS）。
計算公式
功函數：φ = hν − KE = hc/λ − KE
極限頻率：ν0 = φ / h
極限波長：λ0 = c / ν0 = hc / φ
光子能量：E = hν = hc/λ（eV·nm=1240/λ）
截止電壓：KE = e·V0
$$\varphi = h\nu - KE_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - KE_{\max}, \quad \nu_0 = \frac{\varphi}{h}, \quad \lambda_0 = \frac{hc}{\varphi}$$使用說明
- 輸入入射光波長 λ（nm）與光電子最大動能 KE（eV）。
- 系統計算 φ=hc/λ−KE、ν0=φ/h、λ0=hc/φ 與 KE（J）。
- 常用：鈉 λ=400nm, KE=0.82 → φ=2.28 eV, λ0=544nm；鎢 λ=200nm, KE=1.7 → φ=4.5 eV。
常見金屬的功函數與光電效應極限
| 金屬 | φ (eV) | φ (J) | ν0 (Hz) | λ0 (nm) | 對應光譜 |
|---|---|---|---|---|---|
| 銫 | 2.10 | 3.364e-19 | 5.08e14 | 590 | 黃橙 |
| 鉀 | 2.30 | 3.685e-19 | 5.56e14 | 539 | 黃綠 |
| 鈉 | 2.28 | 3.653e-19 | 5.51e14 | 544 | 黃綠 |
| 鈣 | 2.87 | 4.598e-19 | 6.94e14 | 432 | 藍紫 |
| 鋅 | 4.30 | 6.889e-19 | 1.04e15 | 288 | 紫外 |
| 銀 | 4.26 | 6.825e-19 | 1.03e15 | 291 | 紫外 |
| 銅 | 4.65 | 7.450e-19 | 1.12e15 | 267 | 紫外 |
| 鐵 | 4.50 | 7.209e-19 | 1.09e15 | 276 | 紫外 |
| 鎢 | 4.50 | 7.209e-19 | 1.09e15 | 276 | 紫外 |
| 鎳 | 5.01 | 8.026e-19 | 1.21e15 | 248 | 紫外 |
| 鉑 | 5.65 | 9.052e-19 | 1.37e15 | 219 | 紫外 |
hc≈1240 eV·nm、h=6.626×10⁻³⁴ J·s、c=2.998×10⁸ m/s、e=1.602×10⁻¹⁹ C。φ 取決於表面狀態與晶面，文獻值差異 ±0.1 eV。
理財情境案例
光電倍增管靈敏材料選擇
光電倍增管（PMT）需檢測可見光至紫外光子，光電陰極材料影響量子效率。雙鹼 Sb-K-Cs φ≈2.0 eV，λ0=620nm，覆蓋可見光至 400nm。
銀-銻-銫陰極 φ≈1.8 eV 可延伸至近紅外 700nm，但暗電流較大影響信噪比。
醫學 PET 掃描用 PMT 檢測 411keV 伽馬激發的閃爍光（藍光 420nm），量子效率 25%，單光子計數能力是 CT 影像的關鍵。
電子束微影與鎢燈絲電子槍
電子顯微鏡 SEM/TEM 電子槍採用鎢絲 φ=4.5 eV，加熱至 2500K 後熱電子發射逸出，加速能量 1-200 keV 形成電子束。
場發射電子槍（FEG）用單晶鎢針尖加強電場降低勢壘，電流密度提升 1000 倍，解析度達 0.1nm（原子級）。
鎢絲電子槍成本 1000 港元、壽命 100 小時；場發射槍 50 萬港元、壽命 5000 小時。香港大學電鏡中心採用 FEG 進行半導體製程失效分析。
常見問題
為什麼存在極限頻率？
光電效應中電子一次吸收一個光子能量 hν。若 hν 小於功函數 φ，電子無法獲得足夠能量逃出金屬，無論光強多大都不發射光電子。光強只決定光子數（光電流強度），不決定單個光子能量。極限頻率 ν0=φ/h 是光子能量剛好等於功函數時的頻率。
為什麼光電子動能與光強無關？
光電效應為單光子過程：一個電子吸收一個光子。光強增加只增加光子數（從而增加光電流），但單個光子能量 hν 不變，電子獲得的能量不變。最大動能 KE=hν−φ 僅取決於光頻與材料。這與波動理論預測「動能應隨光強增加」矛盾，是愛因斯坦光量子假說的關鍵證據。
如何測量金屬的功函數？
(1) 光電效應法——測不同波長下的截止電壓 V0，KE=eV0，作 hν−V0 圖斜率 1、截距 −φ/e；(2) 熱離子發射法——測高溫下電流密度，由 Richardson 方程式反推；(3) 接觸電位法——測兩金屬接觸電位差；(4) 場發射法——加強電場下測發射電流；(5) 光電子能譜（XPS、UPS）——測動能分布直接獲取 φ。最常用為光電效應法與 UPS。
為什麼鎢的功函數高卻仍用作燈絲？
鎢 φ=4.5 eV 雖高，但熔點 3422°C、高溫下蒸發慢、機械強度佳。加熱至 2500K 時熱電子發射密度足夠（J=A·T²·exp(−φ/kT)≈6369 A/m²）。搭配釷化處理（釷單層覆蓋降低有效 φ 至 2.6 eV），發射能力提升 1000 倍。鎢絲成本低、易加工，至今仍是電子槍、X 射線管燈絲首選。
功函數與光伏打電池有什麼關係？
光伏打電池利用半導體 PN 接面而非金屬光電效應，但功函數決定電極接觸特性。金屬與半導體接觸時功函數差形成蕭特基勢壘，影響載子注入效率。透明電極 ITO（φ≈4.7 eV）與矽形成歐姆接觸需要摻雜調整。鈣鈦礦太陽能電池需匹配電極 φ 以最大化開路電壓，效率突破 25%。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。φ=hν−KE=hc/λ−KE，ν0=φ/h，λ0=hc/φ=1240/φ(nm)。鈉 λ=400nm, KE=0.82eV → φ=2.28eV, λ0=544nm；鎢 λ=200nm, KE=1.7eV → φ=4.5eV。hc≈1240 eV·nm，h=6.626×10⁻³⁴ J·s。