功能定理計算器
輸入質量與初末速度，計算淨力作功。m=2kg, u=3m/s, v=5m/s → W=16J。
輸入資料
計算結果
重點速覽：功能定理（Work-Energy Theorem）：淨力對物體所作的功等於物體動能的變化。W_net = ΔKE = (1/2)mv² - (1/2)mu²。由牛頓第二定律 F=ma 推導：W=∫F·dx = ∫ma·dx = (1/2)m(v²-u²)。物理意義：力對物體作功轉化為動能。正功（v>u）動能增加、負功（v<u）動能減少。保守力作功等於勢能變化的負值，總機械能守恆。非保守力（摩擦）作功使機械能耗散為熱。應用：(1) 車輛煞車距離（摩擦力作負功使動能歸零）；(2) 拋體運動（重力作功=動能變化）；(3) 電梯加速（纜繩張力作功）；(4) 碰撞分析（衝力作功=動能損失）；(5) 機械能轉換（彈簧、重力位能與動能互換）。
計算公式
功能定理：W_net = ΔKE = (1/2)m·v² - (1/2)m·u²
動能：KE = (1/2)mv²
作功：W = F·d·cosθ
保守力：W_c = -ΔPE
機械能：E = KE + PE
$$W_{\text{net}} = \Delta KE = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mu^2$$使用說明
- 輸入質量 m（kg，2）。
- 輸入初速度 u（m/s，3）。
- 輸入末速度 v（m/s，5）。
- 系統計算作功與動能變化。
m=2kg 各 u、v
| u (m/s) | v (m/s) | W (J) | ΔKE (J) |
|---|---|---|---|
| 0 | 10 | 100 | 100 |
| 3 | 5 | 16 | 16 |
| 5 | 3 | -16 | -16 |
| 10 | 0 | -100 | -100 |
| 0 | 20 | 400 | 400 |
加速作正功、減速作負功。速度平方關係使高速煞車距離大增。
理財情境案例
車輛煞車與拋體運動
車輛煞車：m=1500kg、u=13.9m/s(50km/h)、v=0。W=-145000J。摩擦係數 0.7、煞車力 = 0.7×1500×9.8=10290N、煞車距離 = 145000/10290≈14m。100km/h 煞車距離 56m（4 倍）。
拋體上升：m=0.5kg、u=20m/s 垂直上拋、v=0 頂點。W=-100J（重力作負功）。上升高度 h=100/(0.5×9.8)=20.4m。下落時重力作正功恢復動能。
香港的士煞車：市區 50km/h 限速。濕路摩擦係數降至 0.3，煞車距離增至 33m。安全距離應 > 煞車距離 + 反應距離。
電梯與機械能轉換
電梯加速：m=1000kg、u=0、v=2m/s。W=2000J（纜繩張力作功）。上升 10m 重力作功 -98000J、張力作功 +100000J（淨 2000J 增動能）。
彈簧動能轉換：m=0.1kg、彈簧 k=100N/m 壓縮 0.1m。彈簧位能 0.5J 轉為動能、末速度 v=√(2×0.5/0.1)=3.16m/s。
自由落體：m=2kg 從 5m 落下。重力作功 W=mgh=2×9.8×5=98J、末速度 v=√(2×9.8×5)=9.9m/s。動能=位能轉換。
常見問題
功能定理和機械能守恆有何關係？
功能定理 W_net=ΔKE 是普適的（含所有力）。若只有保守力（重力、彈力）作功，W_net=-ΔPE，故 ΔKE=-ΔPE → Δ(KE+PE)=0 機械能守恆。若有摩擦，W_net=ΔKE-ΔPE（非保守力作功=機械能損失）。功能定理更基礎。
為什麼煞車距離與速度平方成正比？
W=(1/2)m(v²-u²)。煞車到停止 v=0：W=-(1/2)mu²。摩擦力 f=μmg 固定、煞車距離 d=W/f=u²/(2μg)。故 d∝u²。60km/h 煞車距離是 30km/h 的 4 倍。超速 20km/h 煞車距離增 44%。
正功和負功有什麼區別？
力與位移同向作正功（加速、動能增加）。反向作負功（減速、動能減少）。垂直不作功（向心力對圓周運動）。例如上升時重力作負功、下降時作正功。摩擦恆作負功（與運動反向）。
功能定理如何用於碰撞？
彈性碰撞：動能守恆 ΔKE=0 作功 0。非彈性：動能損失轉為形變、熱、聲。完全非彈性（黏在一起）動能損失最大。Q=ΔKE 為碰撞能量。安全車體潰縮區吸收動能保護乘客。
功的單位為什麼是焦耳？
1J=1N·m=1kg·m²/s²。功=力×位移。1 牛頓力推 1 米作 1 焦耳功。動能 (1/2)mv² 單位相同：kg×(m/s)²=kg·m²/s²=J。能量、功、熱量單位都是焦耳，因為它們都是能量形式。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。W=ΔKE=(1/2)m(v²-u²)。牛頓第二定律推導。煞車、拋體、電梯應用。