一維彈性碰撞計算器
輸入兩質量與速度，計算碰撞後速度。等質量對撞速度交換；m2≫m1時v1反向。
輸入資料
計算結果
重點速覽：一維彈性碰撞：兩物體沿直線碰撞，動量與動能同時守恆（無動能損失）。由動量守恆 m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁'+m₂v₂' 與動能守恆 ½m₁v₁²+½m₂v₂²=½m₁v₁'²+½m₂v₂'² 聯立解得：v₁'=((m₁-m₂)v₁+2m₂v₂)/(m₁+m₂)、v₂'=((m₂-m₁)v₂+2m₁v₁)/(m₁+m₂)。特殊情形：(1) 等質量 (m₁=m₂) → 速度交換（v₁'=v₂, v₂'=v₁），牛頓擺原理；(2) m₂≫m₁ 且 v₂=0 → v₁'≈-v₁（反彈），v₂'≈0（牆壁）；(3) m₁≫m₂ 且 v₂=0 → v₁'≈v₁, v₂'≈2v₁（輕物被彈飛）；(4) v₁=v₂ → 不碰撞（v₁'=v₁, v₂'=v₂）。物理意義：彈性碰撞中能量不轉為熱/聲/形變，全部保留為動能。微觀粒子間碰撞常為彈性（如中子-質子散射）。宏觀物體碰撞總有能量損失（非完全彈性）。恢復係數 e=1 為完全彈性、e=0 為完全非彈性、0<e<1 為部分彈性。應用：(1) 牛頓擺（動量動能傳遞演示）；(2) 台球開球；(3) 中子慢化（反應爐石墨/水減速劑）；(4) 粒子散射實驗；(5) 撞擊測試（e 測定材料彈性）。
計算公式
動量守恆：m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'
動能守恆：½m₁v₁² + ½m₂v₂² = ½m₁v₁'² + ½m₂v₂'²
末速度：v₁' = ((m₁-m₂)v₁ + 2m₂v₂) / (m₁+m₂)
末速度：v₂' = ((m₂-m₁)v₂ + 2m₁v₁) / (m₁+m₂)
恢復係數：e = (v₂' - v₁') / (v₁ - v₂) = 1（完全彈性）
$$v_1' = \frac{(m_1-m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1+m_2}, \quad v_2' = \frac{(m_2-m_1)v_2 + 2m_1 v_1}{m_1+m_2}, \quad e = \frac{v_2'-v_1'}{v_1-v_2} = 1$$使用說明
- 輸入質量 m₁（kg，1）。
- 輸入初速度 v₁（m/s，5）。
- 輸入質量 m₂（kg，1）。
- 輸入初速度 v₂（m/s，0）。
- 系統計算末速度、總動量與總動能。
v2=0 各質量比末速度
| m₂/m₁ | v₁' | v₂' | 說明 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | v₁ | 速度交換 |
| 10 | -0.82v₁ | 0.18v₁ | 反彈 |
| 100 | -0.98v₁ | 0.02v₁ | 近牆壁 |
| 0.1 | 0.82v₁ | 1.64v₁ | 輕物彈飛 |
| 0.01 | 0.98v₁ | 1.96v₁ | 極輕彈飛 |
等質量速度交換；m₂≫m₁ 反彈；m₂≪m₁ 輕物被彈飛 2v₁。
理財情境案例
牛頓擺與台球開球
牛頓擺：5 個等質量鋼球懸排。拉起一端球放開，碰撞後僅另一端球彈出等高。原理：等質量彈性碰撞速度交換——球1停、球2得v1、傳遞至球5。動能動量依次傳遞，末端球得初速。能量損失<1%鋼球高硬度。
台球開球：母球(0.17kg)擊靜止球陣。母球正面撞擊第一球：等質量速度交換，母球停、第一球得母球速度v。第一球撞第二球又交換……末端球彈出。側旋與多球碰撞使開球散射。
香港桌球總會開球要求母球撞後至少 4 球碰壁。等質量彈性碰撞是桌球力學基礎，加旋轉與摩擦增加複雜性。
中子慢化與反應爐減速劑
核反應爐中鈾-235 裂變產生快中子(2 MeV)，需慢化為熱中子(0.025 eV)才能維持鏈式反應。中子與減速劑核彈性碰撞（動能守恆，核間無能量損失）。
等質量（中子-氫）：一次碰撞中子幾乎停下（速度交換，能量全傳質子）。但氫吸收中子強，需平衡。重水(氘D)：mD/mn=2，一次碰撞中子能量保留(1/3)²=1/9，需 25 次降至熱能。石墨(碳12)：mC/mn=12，一次碰撞能量保留(11/13)²=0.72，需 115 次。
香港大亞灣核電站用輕水減速劑+冷卻劑。CANDU 重水堆減速效率高但重水昂貴。中子慢化是彈性碰撞在核工程的關鍵應用。
常見問題
為什麼等質量碰撞會速度交換？
m₁=m₂ 時代入公式：v₁'=((m-m)v₁+2mv₂)/(2m)=v₂，v₂'=v₁。速度完全交換。直覺：動量與動能方程對稱，解必為交換。牛頓擺正是此現象——球1停、球2得v1……末端球彈出。能量動量依次傳遞，無損失。
碰撞牆壁是彈性碰撞嗎？
近似彈性。m₂≫m₁ 且 v₂=0 時代入：v₁'≈-v₁（反彈）、v₂'≈0。牆不動，物體以原速反彈。橡皮球碰硬牆 e≈0.8（非完全彈性，反彈<原速）。鋼球碰鋼板 e≈0.95。橡膠球碰混凝土 e≈0.75。網球 e≈0.6。e=1 為理想完全彈性。
動能真的完全守恆嗎？
完全彈性碰撞 (e=1) 動能守恆。但宏觀碰撞總有部分動能轉熱/聲/形變。鋼球碰撞 e=0.95（5%損失）；橡膠球 e=0.6（64%損失）；黏土碰撞 e=0（完全非彈性，黏一體動）。微觀粒子（原子、中子）間碰撞常為完全彈性——無形變無熱。理想氣體分子彈性碰撞假設是動力論基礎。
二維碰撞如何計算？
二維需動量向量守恆（兩分量方程）+動能守恆+碰撞幾何參數（碰撞參數 b）。已知初速求末速需額外參數：碰撞角或散射角。台球碰撞為典型二維——母球斜撞使球散射。粒子物理散射截面為二維碰撞統計平均。公式更複雜，但動量動能守恆原理相同。
為什麼中子要用輕核做減速劑？
彈性碰撞動能轉移效率=4m₁m₂/(m₁+m₂)²。m₁=m₂ 時最大=1（完全轉移）；m₂≫m₁ 時→0（幾乎不轉移）。故中子(m₁)與輕核(氫m₂=m₁、氘m₂=2m₁)碰撞轉移效率高，重核(鈾m₂=238m₁)效率極低。氫效率最高但吸收中子強，氘為折中。這是反應爐選用輕水/重水/石墨作減速劑的原因。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。動量動能守恆。牛頓擺、台球、中子慢化。等質量速度交換。e=1完全彈性。