簡諧運動位移計算器
輸入振幅、角頻率、時間與相位，求簡諧運動位置、速度、加速度。t=0,φ=0 → x=A。
輸入資料
計算結果
重點速覽：簡諧運動（SHM）是回復力與位移成正比、方向相反的週期運動。x(t)=A·cos(ωt+φ)。位移、速度、加速度皆為正弦餘弦函數。能量守恆：動能+位能=總能 ½kA²。性質：(1) 週期 T=2π/ω、與振幅無關（等時性）；(2) x²+v²/ω²=A²（橢圓軌跡）；(3) a=-ω²·x（回復力)。應用：(1) 彈簧振子 T=2π√(m/k)；(2) 單擺（小角度）T=2π√(L/g)；(3) LC 振盪電路；(4) 分子振動（紅外光譜）；(5) 聲波、地震波。
計算公式
位移：x(t) = A·cos(ωt+φ)
速度：v(t) = -A·ω·sin(ωt+φ)
加速度：a(t) = -ω²·x = -A·ω²·cos(ωt+φ)
週期：T = 2π/ω，頻率：f = 1/T
$$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi), \quad v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi), \quad a(t) = -\omega^2 x, \quad T = \frac{2\pi}{\omega}$$使用說明
- 輸入振幅 A（m）。
- 輸入角頻率 ω（rad/s）。
- 輸入時間 t（s）與相位 φ（rad）。
- 系統求位置、速度、加速度、週期、頻率。
簡諧運動位移示例（A=1, ω=2, φ=0）
| t (s) | x (m) | v (m/s) | a (m/s²) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1.000 | 0 | -4 |
| π/4≈0.785 | 0.707 | -1.414 | -2.828 |
| π/2≈1.571 | 0 | -2 | 0 |
| 3π/4≈2.356 | -0.707 | -1.414 | 2.828 |
| π≈3.142 | -1 | 0 | 4 |
ω=2 rad/s、T=π≈3.14s。位置餘弦、速度負正弦、加速度=-ω²·x。
理財情境案例
彈簧振子與鐘擺
彈簧振子：T=2π√(m/k)。m=1kg, k=4N/m → T=π≈3.14s。週期與質量平方根成正比、與勁度係數平方根成反比。
單擺小角度：T=2π√(L/g)。L=1m, g=9.8 → T≈2.01s。秒擺 L=0.248m（半週期1秒）。鐘擺計時。
LC 電路：ω=1/√(LC)。L=1H, C=1μF → ω=1000 rad/s, T=2π ms。無線電調諧電路。
分子振動與聲波
分子振動：HCl 振動頻率 8.7e13 Hz（紅外光譜）。化學鍵似彈簧、原子似振子。能量量子化 E_n=(n+½)hf。
聲波：空氣分子簡諧振動。頻率 20Hz-20kHz 可聽。樂器弦振動為駐波簡諧。A4=440Hz。
地震波：地球內部簡諧振動傳播。P 波 5-7km/s、S 波 3-4km/s。香港地震監測站。
常見問題
為什麼週期與振幅無關？
簡諧運動回復力 F=-kx。運動方程 mẍ=-kx → ẍ=-(k/m)x。週期 T=2π√(m/k)、只與質量和勁度有關、與振幅無關。此為等時性、是鐘擺計時基礎。實際單擺大幅時非線性、週期略增。
速度何時最大？
中心位置 x=0 時速度最大 |v|=A·ω。端點 x=±A 時速度為零。動能在中心最大、位能在端點最大。能量守恆 ½mv²+½kx²=½kA²。
角頻率與頻率關係？
角頻率 ω=2πf、單位 rad/s。頻率 f=1/T、單位 Hz。ω=2π/T。例：ω=2 rad/s → f=1/π≈0.318 Hz、T=π≈3.14 s。交流電 50Hz → ω=314 rad/s。
簡諧運動與圓周運動關係？
等速圓周運動投影到直線為簡諧運動。圓周角速度 = 簡諧角頻率 ω。半徑 = 振幅 A。圓周運動 x 分量 = A·cos(ωt)。此為簡諧運動數學基礎。
簡諧運動能量如何？
總能 E=½kA²（振幅決定）。動能 KE=½mv²=½k(A²-x²)。位能 PE=½kx²。能量在動能與位能間轉換、總和不變。端點全部位能、中心全部動能。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。簡諧運動 x=A·cos(ωt+φ)。彈簧、鐘擺、振盪電路應用。